2.4.3 相关函数
１．自相关函数
自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与
另一时刻取值的依赖关系，其定义式为
（2.4.6）
对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。对于有限时间内的信号，例如单个脉
冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算
（2.4.7）
自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函 数。
例如信号
的自相关函数为
若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即
，则
对于正弦信号，由于
，其自相关函数仍为
由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号
的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率
，但丢失了相角的信息。
自相关函数具有如下主要性质：
（1）自相关函数为偶函数，
，其图形对称于纵轴。因此，不论时移
方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。
（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即
（2.4.8）
（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
（4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时， ，即
（2.4.9）
趋于信号平均值的平方
实际工程应用中，常采用自相关系数
来度量其不同时刻信号值之间的相关程
度，定义式为
当τ＝0时，
x(t+τ)之间彼此无关。由于
（2.4.10）
＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与
，所以。值的大小表示信号相
关性的强弱。
自相关函数的性质可用图2.4.3表示。
图2.4.3 自相关函数的性质
常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括：
（1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟
信号的自相关函数将在
反射体的位置，同时自相关系数在
处的值
将给出反射信号相对强度的度量。
自相关函数图形 处也达到峰值（另一峰值在
处），这样可根据
确定
的回声，那么该
时间历程
正弦波 正弦波加随机噪声 窄带随机噪声 宽带随机噪声 图2.4.4 四种典型信号的自相关函数
（2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性
的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后
，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。
图2.4.5所示为噪声对相关函数的影响。
图 2.4.5 噪声对相关函数的影响 2．互相关函数
随机信号x(t)和y(t)的互相关函数
(2.4.11) 定义为
互相关函数具有如下性质：
（1）互相关函数不是偶函数，是不对称的。
图2.4.6为两个随机信号x(t)和y(t)及其互相关函数图形，其峰值偏离了原点的位置反
映了两信号的时差。例如
在
位置达到最大值，则说明y(t)导前
时间x(t)与
y(t)最相似。