习题五
1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P{10 i?141111117E(Xi)?1??2??3??4??5??6??,6666662 11111191E(Xi2)?12??22??32??42??52??62??,6666666917?35从而 D(Xi)?E(Xi2)?[E(Xi)]2??????. 6?2?122又X1,X2,X3,X4独立同分布. 从而E(X)?E(?Xi)??E(Xi)?4??14, i?14i?144472 D(X)?D(?Xi)??D(Xi)?4?i?1i?13535?. 12335/3?0.271, 42所以 P{10?X?18}?P{|X?14|?4}?1?2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率 达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？ 【解】令Xi??1,若第i个产品是合格品,?0,其他情形. 而至少要生产n件，则i=1,2,?,n,且 X1，X2，?，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8. 现要求n,使得 1 P{0.76??Xi?1nin?0.84}?0.9. 即 0.76n?0.8n0.84n?0.8n?i?1?}?0.9 n?0.8?0.2n?0.8?0.2n?0.8?0.2P{?Xni?0.8n由中心极限定理得 ?0.84n?0.8n??0.76n?0.8n?????????0.9, 0.16n?0.16n???整理得????n?n?0.95,查表?1.64, ??10?10?n≥268.96, 故取n=269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定 各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床 数目最大值m，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（200，0.7）, E(X)?140,D(X)?42, ?m?140?0.95?P{0?X?m}?P(X?m)????. ?42? 2 查表知 m?140?1.64, ,m=151. 42所以供电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k=1，2，?，20），设它们 是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=?Vk，求P{V＞105}的近似值. k?120【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)= 100,k=1,2,?,20? 12由中心极限定理知，随机变量 Z??Vk?120V?20?5近似的?~N(0,1). 100100?20?201212k?20?5????V?20?5105?20?5??于是P{V?105}?P??? 10?100?20?20???12?12??????V?100??0.387??1??(0.387)?0.348, ?P??10?20????12?即有 P{V>105}≈0.348? 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木 柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？ 【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）? 从而 3 ?30?100?0.2?P{X?30}?1?P{X?30}?1???? ?100?0.2?0.8? ?1??(2.5)?1?0.9938?0.0062. 6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言. （1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？ ?1,第i人治愈,【解】Xi???0,其他.i?1,2,?,100. 令X??Xi. i?1100(1) X~B(100,0.8)， ?75?100?0.8?P{?Xi?75}?1?P{X?75}?1???? i?1?100?0.8?0.2?100 ?1??(?1.25)??(1.25)?0.8944. (2) X~B(100,0.7)， ?75?100?0.7?P{?Xi?75}?1?P{X?75}?1???? i?1?100?0.7?0.3?100 ?1??(5)?1??(1.09)?0.1379. 217. 用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品 中，任取1000件，其中有20件废品的概率. 4 【解】令1000件中废品数X，则 p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05)， E(X)=50，D(X)=47.5. 故 P{X?20}?11?20?50??30??????6.895??6.895? 47.5?47.5???1?30??6????4.5?10. 6.895?6.895? ?8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，?，T30服从参数 λ=0.1[单位：（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率. 【解】E(Ti)?1??11?10, D(Ti)?2?100, 0.1? E(T)?10?30?300, D(T)?3000. 故 ?350?300??5?P{T?350}?1????1??????1??(0.913)?0.1814. ?3000??30?9. 上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多 少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）. 【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100， E(T)=10n，D(T)=100n. 从而P{?Ti?306?8}?0.95,即0.05???i?1n?306?8?10n??. ?10n?5