地震和CSEM数结合的不确定性分析
摘要
地球物理反演问题包含三个阶段：正演问题、优化和评价。我们研究评价准则是为地震数据和可控源数据的联合反演服务，并利用岩石物理模型将这两套不同的数据综合起来。我们引入了四个典型的不确定性源，并采用贝叶斯模型解决了这个评价问题。这些不确定性因素是：（1）地震波速度，（2）电导率，（3）地震数据，（4）CSEM数据。我们通过后验随机抽样对孔隙度和含水饱和度这两个不确定性因素进行定量化处理。这个随机抽样是在一维海洋结构的空间模型中进行的。我们通过一些统计实验来研究由四个独立来源的不确定性所引起的相对贡献。相比地震和CSEM数据而言，地震波速度和电导率这两个因素发挥着更为重要的作用。数值模拟方法表明，孔隙度的评估主要由地震波速度决定，含水饱和度的评估主要有电导率来决定。在这项研究中所提出的不确定性分析准则可以用来有效的减少由地震和CSEM数据结合所产生的孔隙度和含水饱和度的不确定性。
关键词：不确定性分析，Metropolis-Hastings算法，CSEM
1.简介
当前，人们对综合利用地震和可控源电磁方法进行深海探索的兴趣越来越浓厚，虽然CSEM方法的分辨率比地震方法的分辨率要低，但是它能够提供额外的信息，例如电导率。这一属性在储层经济评价中十分重要。当CSEM方法和地震勘探方法综合使用时，CSEM方法是十分重要的辅助工具。地震和CSEM是两种截然不同的勘探技术方法，它们分别基与不同的介质特性：地震方法基于地震波速度，CSEM方法基于介质的电导率。结合不同的数据集合，我们有几种联合反演方法。这些方法中，有的假设模型结构相同(Musil et al., 2003)或结构相似，但是模型中介质的性质变化各异(Gallardo & Meju, 2004)。最近，人们已经对岩石物
理模型在联合反演中的应用进行了研究。岩石物理模型能够使我们把地震波速度和电导率同孔隙度、含水饱和度和渗透率等储层参数联系在一起。这种方法的主要优点是这种方法得到的储层参数具有很大的经济意义。但是，岩石物理模型的应用也具有他的局限性，然而由于模型是具体的，并且，如今，还没有人能提出一个普遍的反问题的解决方案。此外，即使是很具研究价值的特殊区域，岩石物理模型都可以描述为一个样本的集合。这些局限性表明，通过岩石物理模型的联合反演本质上就是一种随机反演方法。人们最近已经研究了随机反演，从而为地震反演(Spikes et al., 2007)和地震和CSEM数据联合反演(Chen et al., 2007)服务。然而，人们并没有很好的理解岩石物理模型的不确定性。事实上，我们联合反演的精度同时受岩石物理模型的不确定性和数据噪音的限制。因此，我们在研究中把岩石物理模型的不确定性和数据噪声同时考虑在内。
图1 反问题的组成：正问题、优化问题、评价问题
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?(m)是一个在不考虑数据d的任何信息的条件下的先验概率。f(dm)是在
m已知的情况下的数据d的似然概率。?(md)是我们所要得到的我们所推断的
后验概率密度。方程（2）的分母表示数据d的概率分布。这个量可以写为：
?(d)????m?f?dm?dm。在实际应用中，分母并不参与评估，仅对作为模型参数函数的后验概率的相对变化进行研究。
2.1层状贝叶斯模型
纵波的速度和储层参数孔隙度密切相关，电导率和储层参数含水饱和度密
切相关。这些储层参数是这项研究的目标模型参数。这有两种似然概率层，并且它们相互依赖。这些变量之间层次的依赖关系可以用图2表示。最上面一行代表储层参数的先验概率，这些储层参数是孔隙度m?和含水饱和度msw。中间一行表示的是纵波的速度dvp的似然概率和电导率d?e的对数。最下面一行代表的是地震数据ds和CSEM数据de的似然概率。
依据贝叶斯准则，储层参数的先验概率可以表示为?(m?)和?(mse)，同样，四个似然概率可以这样表示：纵波速度的似然概率f(dvpm?,msw)，电导率对数似然概率f(d?em?,msw)，地震数据似然概率f(dsdvp)，CSEM数据似然概率
f(ded?e)。因此，孔隙度和含水饱和度的后验概率?post是由先验概率和似然概
率f决定。具体关系如下：
?post(m?,msdv,d?,ds,de)wpe??(m?,msw,dvp,d?e,ds,de)??prior(m?)?prior(msw)?f(dvpm?,msw)?f(dsdvp)f(ded?e) （3）
方程（3）表明后验概率和模型的先验概率和可能性概率成正比关系。 在统计学中，由中心极限定理可知，一个足够大数目的独立同分布随机变量序列服从正态分布。这意味着，正态分布是描述概率的合理选择。因此，在这项研究中，我们假设先验概率和似然概率服从多元高斯分布，其中期望为向量u，协方差矩阵为?，具体公式如下：
f?x??1?2???n?1T?1?exp???x?u???x?u?? （4）
?2?其中x表示数据或模型向量，n表示x的维数，协方差矩阵为一个对角矩阵，如下：
??diag??21,?22,...,?n2? （5）
其中?i2表示一个基准值或模型参数的方差，如果误差采用高斯分布时误差很大，我们应尝试使用另一种概率函数。方程（4）即为这个研究中概率函数的一般形式，关于先验概率和似然概率的协方差矩阵将在后文加以讨论。值得注意的是，这项研究前面的工作（图2中的箭头）是非线性的，因此后验概率的分布并不一定服从高斯分布。
图2 这个层次依赖结构用有向图来表示，每个节点各代表一个随机变量，虚线箭头表示两个节点之间以一定的概率相互关联，实线箭头表示两节点之间关系确定，u和?分别表示期望向量和协方差矩阵，m?和msw代表两个储层参数：介质的孔隙度和含水饱和度。dvp和d?e分别表示P波的速度和电导率的对数。ds和de分别表示两个不同的数据集：地震数据和CSEM数据。
2.2 先验概率和似然概率模型
结合上文贝叶斯模型，我们有几种方法来表示先验信息（Scales & Tenorio, 2001），先验模型包含了我们没有获得数据之前的所有信息。在实践中，先验信息包含了我们对模型参数的定义，调查区域的地质信息以及初步调查成果。因此，先验模型是贝叶斯方法的初始模型，相比先验概率，我们期望得到一个具有更少的不确定因素的后验概率分布。在贝叶斯反演中，先验模型对消除适合数据的不合理的模型发挥着十分重要的作用 (Tenorio, 2001) 。显然，我们所获得的先验信息对孔隙度和含水饱和度作了明确的定义，如下：0?m?i?1，0?msw?1，这
i也就意味着，孔隙度和含水饱和度的先验分布在本质上并不是高斯分布。然而，当概率分布的方差足够小，来自于高斯近似的偏差就可以忽略不计。我们采取了这个假设，并将模型的先验概率进行高斯近似。我们进一步假设协方差矩阵??和?Sw（图2）是对角化矩阵并且每一个协方差矩阵的对角化元素是相同的。如图2所示，对于分层贝叶斯模型，有四个似然因素。每一个似然因素都能描述岩石物理实验结果或噪声观测值与岩石物理模型或者地球物理正演结果的吻合度。关于似然模型的详细内容将在后面加以讨论。 2.3 MCMC抽样
后验概率的评估对计算机的计算能力要求特别高，在大多数情况下，进行 3—D反演并不实际，通常使用1—D地震波形反演进行工程评估研究(Gouveia & Scales, 1998;Mosegaard et al., 1997)。这项研究的后验模型空间包含几层孔隙度和含水孔隙度。我们采用马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)抽样方法间接评估孔隙度和含水饱和度的后验概率分布(Kaipio et al., 2000)。在这项研究中，MCMC抽样方法的目的是抽取一系列样本，使得样本的分布能够描述方程（3）的联合后验概率。MCMC抽样方法在探索可行解的空间和探讨解或解的不确定性方面是一种很有用的工具 (Mosegaard & Sam-bridge, 2002; Sambridge et al., 2006)。Metropolis-Hastings(Hastings, 1970; Metropolis et al.,1953)算法和吉布斯采样器(Geman & Geman, 1984)是用于此种目的的使用最为广泛的采样器。我们应用Metropolis-Hastings进行后验概率的评估。Metropolis-Hastings算法能够从一个很难直接抽样的概率分布中抽取一系列样本。在实际应用中，该算法包括以下几个步骤(Kaipio et al., 2000：