一、填空题
cos(0.1?n?0.3?):2?k2?k??20k，其周期为20 ?00.1?两者具有公倍数20，故序列x(n)是周期序列,周期为20。 1. 设x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，请判
断系统y(n)?2x(n)?2 的线性和移不变性？（非线性、移不变）
2. 一个稳定的线性移不变系统的系统函数为
H(z)?z，其收敛域为0.62?z?1.62其是否(z?1.62)(z?0.62)为因果系统 (否）
3. 若时域信号为离散、周期的，则其频谱信号为（B） A）周期、连续的 B）周期、离散的 C）非周期、连续的 D）非周期、离散的 4. 已知信号f(t)?cos2(400?t), 当对该信号进行
抽样时，为保证其频谱不混叠，则最低的抽样频率fs应为（800Hz）Hz，奈奎斯特间隔Ts为(1/800s)
秒。,
5. 设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2
的整数次幂，要求频率分辨力≤0.1Hz，如果抽样时间间隔为4ms，试确定最小记录长度为
10s ；抽样频率为 250Hz ；在一个记录中的最少点数 4096 6. 以下线性移不变系统（A）是最小相位延时系统；
16?8z?1?z?2?1?2(A)H(z)?12?7z?1?z?2(B)H(z)?1?8z?16z1?7z?1?12z?2
(C)H(z)?1?8z?1?16z?212?7z?1?z?2(D)H(z)?16?8z?1?z?21?7z?1?12z?27. 将模拟滤波器变换为数字滤波器，其变换必须满足
二个条件（1）S平面的虚轴必须映射到Z平面的 单位圆上_，（2）S平面的左半平面必须映射到Z平面的 单位圆内 8. 已知一个线性移不变系统的差分方程为：
y(n)?x(n)?5x(n?1)?3x(n?2)?4x(n?3)?5x(n?4)?x(n?5)，
试判断该数字滤波器是FIR还是IIR FIR ，原因是
什么（因为其不包含极点或没有负向反馈） 9. 已知FIR数字滤波器的一个零点为2+j，必有其它
三个零点分别为（2-j，1，1）
2?j2?j10. 双线性变换相比冲击响应不变法设计IIR滤波器的
优点是其S域到Z域为(单值)映射，缺点为会产生（非线性畸变）
二、计算题
1. 已知序列x(n)?Asin(11?n?0.4?)+cos(0.1?n?0.3?)，请求
5出其周期。
解： sin1(12?k?2k1k05?n?0.?4)，其周期为10 ?? 11?0?1152.一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系统，已知它满足 y(n?1)?10y(n)?y(n?1)?x(n) 并
3已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。 解： 对给定的差分方程两边作Z变换，得：
z?1Y(z)?103Y(z)?zY(z)?X(z)
则：H(z)?Y(z)X(z) ?1z?1?103?z ?z(z?3)(z?13)极点为 z3,z11?2?3，
为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故取 1/3?|z|?3 。
选H(z)的收敛区域为 13?z?3， 则H(z)?1?z3?1/3??z?3?z?z?1/3??（5分）式中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因
果序列，所以：
H(z)1???1????1/33nz?n?(1)nz?n?3?????n???n?03??
则有h(n)?1?1??3nu(?n?1)?(13)nu(n)???3-3
n??3??3nu(?n?1)????1????u(n)? 8??3??3.序列x(n)?{1,2,2,1;n?0,1,2,3}y(n)?{2,1,?1,1;n?0,1,2,3}，计算 （1）
线性卷积x?n??y?n?；
（2） 4点圆周卷积x?n?④y?n?； （3） 7点圆周卷积x?n?⑦y?n?； 解：（1）线性卷积x?n??y?n?为
x(n)?y(n)?x(m)y(?nm),???n?
?m?????n 1 2 2 1 x?n??y?n? 0 2 0 0 0 2 1 1 4 0 0 5 2 -1 2 4 0 5 3 1 -2 2 2 3 4 0 2 -2 1 1 5 0 0 2 -1 1 6 0 0 0 1 1 或
1 2 2 1 2 1 -1 1
1 2 2 1
-1 -2 -2 -1 1 2 2 1
2 4 4 2 2 5 5 3 1 1 1
故x?n??y?n?={2, 5, 5, 3,1, 1, 1; n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} （2）4点圆周卷积x?n?④y?n?为 x?n?④y?n???
n 1 0 1 2 3 2 1 -1 1 2 2 4 2 -2 2 -2 2 4 2 1 1 -1 1 2 5、设某个数字滤波器的差分方程为
y(n)?x(n)?0.8x(n?1)?1.1y(n?1)?0.3y(n?2)，
（1）求该数字滤波器的系统函数；
（2）画出该系统的级联结构和并联结构（以一阶基本节表示）；
（3）级联结构和并联结构各有什么特点？
解：（1）Y(z)?X(z)?0.8z?1X(z)?1.1z?1Y(z)?0.3z?2Y(z)
??x(n)y(n?m)?R4(n) ??m?0?3Y(z)1?0.8z?1 系统函数为：H(z)? ??1?2X(z)1?1.1z?0.3z （2） 对系统函数进行因式分解，有
x?n?④y?n? 3 6 6 3 1?0.8z?11?0.8z?1 H(z)? ?1?1.1z?1?0.3z?2?1?0.6z?1??1?0.5z?1? 故级联结构为：
或，利用圆周卷积是线性卷积以4点位周期的周期延拓序列的主值序列，故
1+2=3； 1+5=6；1+5=6 x?n?④y?n?={3, 6,6,3; n=0, 1, 2, 3}
(3) 当圆周卷积的长度大于等于线性卷积非零值长度
时，两者相等，故
对系统函数进行部分分式展开：
?23 H(z)??1?0.6z?11?0.5z?1并联结构为：
x?n?⑦y?n?= {2, 5, 5, 3, 1, 1, 1;
n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
4、（1）画出4点基2时间抽取IFFT的运算流图； （2）X(k)?{10,?2?2j,?2,?2?2j;k?0,1,2,3}，基于该运算流图，试计算x(n)的值。
（3）计算FFT和计算IFFT有无本质区别？ 解：（1） 4点基2时间抽取IFFT的运算流图如下图所示。
（3） 级联结构的特点：
a）可以独立调整滤波器的任何一对零点，而不会影响其它零极点；
b）可以独立调整滤波器的任何一对极点，而不会影响其它零极点；
c）可以正确调整滤波器的频率响应特性; d）各个子系统的误差会累计。 并联结构的特点：
a）可以独立调整滤波器的任何一对极点，而不会影响其它零极点；
b）不能正确调整滤波器的零点； c）各个子系统的误差不会累计。
（2） 由图可得，
?0??1X1(0)?12?X(0)?X(2)W4??2?10?2??4?0??1X1(1)?12?X(0)?X(2)W4??2?10?(?2)??6
?0??1X2(0)?12?X(1)?X(3)W4??2??2?2j?(?2?2j)???2 ?01??X2(1)?1X(1)?X(3)W??2?2j?(?2?2j)?2j?4?2?2??0??1x(0)?12?X1(0)?X2(0)W4??2?4?(?2)??1?1??1x(1)?12?X1(1)?X2(1)W4??2?6?2j?j??2?4?(?2)??3?1??1x(3)?12?X1(1)?X2(1)W4??2?6?2j?j??4?0??x(2)?12?X1(0)?X2(0)W4??12故，x(n)?{1,2,3,4;n?0,1,2,3}
（3）DFT的快速算法FFT和IDFT的快速算法IFFT没有任何本质区别，两者是一致的。