数列求和的常用方法
第一类：公式法求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的. 1、等差数列前n和公式：Sn?n?a1?an?n?n?1??na1?d 22(q?1)(q?1)
?na1?2、等比数列前n和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq?1?q?1?q?自然数方幂和公式：
nn1123、Sn??k?n(n?1)4、Sn??k?n(n?1)(2n?1)26k?1k?1
5、Sn?13k?[n(n?1)]2?2k?1
n【例】已知数列?an?满足a1?1,an?1?an?4,n?N*，求数列?an?的前n项和Sn.
【练习】已知log3x?
第二类：分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
若数列?cn?的通项公式为cn?an?bn，其中数列?an?，?bn?分别是等差数列和等比数列，求和时一般用分组结合法。 【例】数列1,2,3,4
?123n，求x?x?x?????x????的前n项和.log23
12141811,?,nn,?求数列的前n项和. 162数列求和的常用方法 1
【练习】数列?an?的通项公式an?2n?2n?1
第三类：裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常用的通项分解（裂项）如： （1）an?f?n?1??f?n? （2）an?11111?11? （an???????）
n?n?1?nn?1n?n?k?k?nn?k?（3）an?1?11??????
?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?1?n?1?n
n?1?n1（4）an?（5）an?loga?1?【例1】数列1,
??1???loga?n?1??logan n?111,,?,,?，求该数列的前n项和. 1?21?2?31?2?3???n数列求和的常用方法 2
【例2】已知等差数列?an?满足a3?5,a5?a7?22.
（1）求an； （2）令bn?
【例3】数列
小结：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意究竟是像例1一样剩下首尾两项，还是像例3一样剩下四项.
【例4】数列?an?的通项公式是an?1，求数列?bn?的前n项和Sn. anan?11111,,,?,,?，求该数列的前n项和. 1?32?43?5n?n?2?1，若前n项和为10，则项数为（ ）
n?1?nA. 11 B. 99 C. 120 D. 121
【例5】数列?an?的通项公式是an?log2?1?
数列求和的常用方法
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??1??，求该数列的前127项和. n?第三类：错位相减法求和
这种方法主要用于求数列?an?bn?的前n项和（Sn?a1?b1?a2?b2?a3?b3???an?bn），其中?an?，?bn?分别是等差数列和等比数列. 【例1】求数列?an?的前n项和Sn. （1）1?2,2?22,3?23,4?24,?,n?2n? （2）
【练习】求数列?an?的前n项和Sn.
（1）1?2,3?2,5?2,7?2,?,?2n?1??2?
234n1234n,2,3,4,?,n? 22222（2）
24682n,2,3,4,?,n? 22222数列求和的常用方法 4
【例2】已知数列{an}是首项为a1?11,公比q?的等比数列，设 44bn?2?3log1an(n?N*)，数列{cn}满足cn?an?bn.求数列{cn}的前n项和Sn；
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第四类：合并求和法
针对一些特殊的数列， 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此在求数列的和时，可将这些项放在一起求和，然后再求Sn.
【例】求?1?2?3?4?5?6???99?100的值.
第五类：倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到n个?a1?an?。 【例】若函数f?x?对任意x?R，都有f?x??f?1?x??2. （1）an?f?0??f?明你的结论；
22222222?1????n??2?f??????n??n?1?数列?an?是等差数列吗？是证f???f?1?，
?n??1?（2）数列??的前n项和Sn.
aa?nn?1?
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