线性方程组练习
A组1、用消元法解下列线性方程组：
?2x1?x2?3x3=3?x1?2x2?x3+x4=1?x1?x2?x3?x4=1?3x?x?5x=0???123①?②?x1?2x2?x3-x4=-1③?x1?x2?x3?x4=0
?x?2x?x-5x=5?x?x?2x?2x=-1/2?4x1?x2?x3=334234?12?1??x1?3x2?13x3=-62x1?x2?3x4?x5=0?x1?x2?4x3-2x4=0?x1?x2?x3=0??x?x?x+2x=0?3x?x?5x=0?x1?x2?2x3?x4=0?123?12?43④?⑤?⑥?
3x?x?7x-2x=03x?2x?x=04x?2x?6x+3x?4x=034232345?12?1?1??x1?3x2?12x3+6x4=0???2x1?2x2?3x3=0??2x1?4x2?2x3+4x4?7x4=02、确定a,b的值使下列线性方程组有解，并求其解：
?2x1?x2?x3+x4=1?ax1?x2?x3?1??①?x1?2x2?x3?4x4=2②?x1?ax2?x3?a ?x?7x?4x?11x=a?x?x?ax?a23234?12?1?x1?2x2?2x3?2x4=2?x1?x2?x3?a?x?x?x=1??234③?④?ax1?x2?x3?1
?x?x?ax?1?x1?x2?x3?3x4=a3?12?x?x?x?5x=b4?1233、已知向量?1=（1,2,3,）?2=（3,2,1），?3=（-2,0,2），?4=（1,2,4），求： ① 3?1+2?2-5?3+4?4②5?1+2?2-?3-?4
4、已知向量?=（3,5,7,9），?=（-1,5,2,0），①若?+?=?，求?②若3?-2?=5?，求?。 5、已知向量?1=（2,5,1,3），?2=（10,1,5,10），?3=（4,1，-1,1）。若3（?1-?）+2（?2+?）=5（?3+?），求?。
6、将下列各题中向量?表示为其他向量的线性组合。
①?=（3,5，-6），?1=（1,0,1），?2=（1,1,1），?3=（0，-1，-1）
②?=（2，-1,5,1），?1=（1,0,0,0），?2=（0,1,0,0，），?3=（0,0,1,0），?4=（0,0,0,1） 7、设向量?1=?1,4,0,2?T?2=?2,7,1,3?，?3=?0,1,-1,a?，?=?3,10,b,4?
TTT① 当a,b取何值时，?不能由?1，?2，?2，?3线性表示？②当a,b取何值时，?可由?1，
?3线性表示？并求出相应的表示式。
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8、已知向量?1，?2由向量?1,?2,?3的线性表示式为?1=3?1-?2+?3，?2=?1+2?2+4?3；向量?1,?2,?3由向量?1?2?3的线性表示式为?1=2?1+?2-5?3，?2=?1+3?2+?3，
=-?1+4?2-?3，求向量?1?2由向量?1?29、已知向量组(B):
?3的线性表示式。
?1,?2,?3 由向量组(A): ?1,?2,?3的线性表示式为：?1=?1-?2+?3，
?2=?1+?2-?3，?3=-?1+?2+?3，试验证向量组 (A)与向量组(B)等价。
10、判定下列向量组是线性相关还是线性无关（其中aii?0，i=1,2，?n） ①a1=(a11,0,0,?,0,0)，a2=(0,a22,0,?,0,0)，an=(0,0,0,?,0,ann)
②a1=(a11,a21,a31,?,an-11,an1)，a2=(0,a22,a32,?,an-12,an2)，an=(0,0,0,?,0,ann) 11、设?1=2?1-?2，?2=?1+?2，?3=-?1+3?2。验证?1?2?3线性相关。
13、如果下列组?1?2??s线性相关，试证：向量组?1，?1+?2，??1+?2+?+?s线性无关。
14、已知向量组?1=(k,2,1),?2=(2, k,0),?3=(1,-1,1),试求k为何值时，向量组?1?2性相关？线性无关？
15、设?1=(6,k+1,3),?2=(k,2, -2),?3=(k,1,0),?4=(0,1,k)。试问：①k为何值时，?1?2线性相关？线性无关？②k为何值时，?1?3线
?2?3线性相关？线性无关？③k为何值时，
?1?2?3?4线性相关？线性无关？
16、下列各题给定向量组?1?2?3?4，试判定?1?2?3是一个极大无关组，并将?4由
?1?2?3线性表示。①?1=(1,0,0,1),?2=(0,1,0,-1),?3=(0,0,1,-1),?4=(2,-1,3,0)
②?1=(1,0,1,0,1),?2=(0,1,1,0,1),?3=(1,1,0,0,1),?4=(-3,-2,3,0,-1)
17、求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。 ①?1=(1,1,3,1),?2=(-1,1,-1,3),?3=(5,-2,8,-9),?4=(-1,3,1,7) ②?1=(1,1,2,3),?2=(1,-1,1,1),?3=(1,3,3,5),?4=(4,-2,5,6),?5=(-3,-1,-5,-7) 18、设A,B均为m?n矩阵，证明：r(A+B) ≤r(A)+r(B)。
rA-I)=n. 19、设A为n阶矩阵，满足A=A。证明：r(A)+（2人大版《线性方程组》共7页第2页
20、求下列齐次线性方程组的一个基础解系。
?x1?2x2?x3?x4+x5=0?x1?2x2?x3+x4?x5=0x?2x?4x-7x=0?1234?2x+x?x+2x?3x=0?2x+x?x?x+x=0??123?4512345①?2x1+x2-2x3+x4=0②?③?
3x?2x?x+x?2x=0x+7x?5x?5x+5x=023452345?3x?2x?2x-4x=0?1?1234?1??2x1?5x2+x3?2x4+2x4=0??3x1?x2?2x3+x4?x4=021、设矩阵Ａ＝aij??m?n，Ｂ＝bij??n?s。证明：ＡＢ＝Ｏ的充要条件是矩阵Ｂ的每一列下列
都是齐次方程组Ａｘ＝０的解。
22、设矩阵A均为m?n矩阵，B为n阶矩阵，已知r(A)=n，试证： ①若ＡＢ＝Ｏ，则B=Ｏ。 ②若ＡＢ＝A，则B=I。
23、求下列线性方程组的全部解。并用对应导出组的基础解系表示。
?x1+3x2?5x3?4x4=1x+x?x+x+x=72x?x?x?x=0??123412345?x+3x?2x?2x+x=-112345?2x?x?3x=0?3x+2x+x+x?3x=-2????12345124①?②?③?x1?2x2?x3?x4?x5=3
?x2+2x3+2x4+6x5=23?x2?3x3?6x4=0?x?4x?x+x?x=312345???5x+4x?3x+3x?x=122x?2x?2x+5x=02344234?1?1??x1+2x2?x3?x4+x5=-1??x1?x2?x3??-3?24、设线性方程组?x1??x2?x3?-2，讨论?取何值时，方程组无解？有唯一解？有无
?x?x??x?-23?12穷多解？在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示其全部解。
?x1?x2?a1?x?x?a232??25、证明线性方程组?x3?x4?a3有解的充分必要条件是a1?a2?a3?a4?a5?0，并在
?x?x?a4?45??x5?x1?a5有解的情况下，求它的全部解。
?x1?x2?x3?0?26、设线性方程组?x1?2x2??x3?0与方程x1?2x2?x3???1有公共解，求?的值及
?x?4x??2x?023?1所有公共解。
27、证明：设?1,?2??t是某一非齐次线性方程组的解，则c1?1?c2?2???ct?t也是它的一个解，其中c1?c2???ct?1。
x1?x2?x3???1??2x2?x3???2?B组1、如果线性方程组?有唯一解，则?=（ ）
x3???3???(??1)x3??(??1)(??3)人大版《线性方程组》共7页第3页
Ａ.1或2 Ｂ.-1或3 Ｃ.1或3 Ｄ.-1或-3
x1?2x2?x3???1??3x2?x3???22、如果线性方程组?有无穷多解，则?=：Ａ3Ｂ2Ｃ1Ｄ0
??x?x?(??3)(??4)?(??2)?23x1?2x2?x3?4??x2+2x3?23、如果线性方程组?无解，则?=( )
???1)(??2)x?(??3)(??4)（3?Ａ.3或4 Ｂ.1或2 Ｃ.1或3 Ｄ.2或4 4、设?1=(1,0,1),
?2=(0,1,0), ?3=(0,0,1).向量?=(-1,-1,0)可表示为?1，?2，?3的
?2+c?3，则a，b，c分别为（ ）
TTT线性组合：?=a?1+bＡ.-1,-1,-1 Ｂ.1,-1,-1 Ｃ.-1,1,-1 Ｄ.-1,-1,1
5、设向量组?1=（1,3,6,2),?2=(2,1,2,-1),?3=(1,-1,a,-2)线性相关，则a应满足条件（ ）Ａ.等于2 Ｂ.不等于2 Ｃ.等于-2 Ｄ.不等于-2 6、向量组?1=(3,1,a),
T?2=(4,a,0)T, ?3=(1,0,a)T线性相关，则（ ）
a≠0且a≠2
Ａ.a=0或2 Ｂ.a≠1且a≠-2 Ｃ.a=1或-2 Ｄ.
7、设向量组?1,?2,?,?s线性无关，则下列各结论中不正确的是（ ）Ａ. 不是零向量 Ｂ.
?1,?2,?,?s都
?1,?2,?,?s中至少有一个向量可由其余向量线性表示 Ｃ.
?1,?2,?,?s中任意两个向量都不成比例 Ｄ. ?1,?2,?,?s中任一部分组线性无关。
8、向量组?1,?2,?,?s?s?2?线性相关的充分必要条件是（ ） Ａ.?1,?2,?,?s中至少有一个零向量
Ｂ.?1,?2,?,?s中任意一个向量可由其余向量线性表示 Ｃ.?1,?2,?,?s中至少有一个向量可由其余向量线性表示 Ｄ.?1,?2,?,?s中任意一个部分组线性相关。
9、向量组?1,?2,?,?s线性无关的充分条件是（ ）Ａ.
?1,?2,?,?s均不是零向量 Ｂ.
?1,?2,?,?s中任意两个向示量都不成比例 Ｃ.?1,?2,?,?s中任意一个向量均不能由其
余向量线性表 Ｄ.?1,?2,?,?s中有一个部分组线性无关。
10、已知向量组?1=(1,2,-1,1),?2=(2,0,a,0),?3=(0,-4,5,-2)的秩为2，则a=（ ）
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Ａ.3 Ｂ.-3 Ｃ.2 Ｄ.-2
11、向量组?1,?2,?,?s的秩不为零的充分必要条件是（ ） Ａ.
?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量 Ｂ.?1,?2,?,?s全是非零向量
Ｃ.?1,?2,?,?s线性无关 Ｄ.?1,?2,?,?s线性相关
12、向量组?1,?2,?,?s的秩为r，则下列四个结论①?1,?2,?,?s中至少有一个含r个向量的部分组线性无关②?1,?2,?,?s中任意含r个向量的线性无关部分组与?1,?2,?,?s可互相线性表示③?1,?2,?,?s中任意含r个向量的部分组皆线性无关④?1,?2,?,?s中任意含r+1个向量的部分组皆线性相关，正确的是：Ａ①②③Ｂ①②④Ｃ①③④Ｄ②③④ 13、设A为n阶矩阵，且A=0，则（ ）Ａ.A的列秩为零 Ｂ.A的秩为零 Ｃ.A的任一列向量可由其他列向量线性表示 Ｄ.A中必有一列向量可由其他列向量线性表示
14、设A为n阶矩阵，下列结论中不正确的是（ ）Ａ.A可逆的充要条件是A的秩为n Ｂ.A可逆的充要条件是A的列秩为n Ｃ.A可逆的充要条件是A的每一行向量都是非零向量 Ｄ.A可逆的充要条件是当x≠O时，Ax≠O,其中x=(x1,x2,?,xn)。 15、设矩阵Am?n的秩为r（0?r?n），则下列结论中不正确的是（ ）
Ａ.齐次线性方程组Ax=0的任何一个基础解系中都含有n-r个线性无关的解向量 Ｂ.若X为n?s矩形，且AX=O，则r（X）≤n-r
Ｃ.?为一m维列向量，r(A,?)=r,则?可由A的列向量组线性表示 Ｄ.非齐次方程组Ax=b必有无穷多解
16、设Am?n，线性方程组Ax=b对应的导出组为Ax=0，则下列结论中正确的是（ ） Ａ.若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解 Ｂ. 若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解 Ｃ. 若Ax= b有无穷多解，则Ax= 0有非零解 Ｄ. 若Ax= b有无穷多解，则Ax= 0仅有零解 17、设矩阵A=aijT??m?n，Ax=0仅有零解的充要条件是（ ）Ａ.A的列向量组线性无关 Ｂ.
A的列向量组线性相关 Ｃ.A的行向量组线性无关 Ｄ.A的行向量组线性相关
?x1?x3?0?18、四元线性方程组?x2?0的基础解系是（ ）
?x?x?0?14Ａ.(0,0,0,0) Ｂ.(0,0,2,0) Ｃ.(1,0,-1) Ｄ.(0,0,2,0)和(0,0,0,1) 19、设齐次线性方程组Ax=0，其中Am?n，且r（A）=n-3。?1,?2,?3是方程组的三个
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