概率论与数理统计（刘建亚）习题解答——第六章
6－1 解：
9m?=X=19邋9X2S21Xi=158,s?X=X=(Xi-X)2=10i=19i=1m?1Y=Y=邋99
9Yi=49.8,s?2Y=S2Y=1(Yi-Y)2=9.95i=19i=1 6－2 解： （2） 矩估计法
E(X)=蝌+ b- xf(x)dx=xaab-adx=+b2E(X2)=蝌+ - x2f(x)dx=bx2a2+ab+b2 ab-adx=3 由矩估计法
A11= n?Xi=X
A1222=n?X2i=X+Sn 解得：a?=X-3S2n,b?=X+3S2n
（2）极大似然估计法，似然函数为
ì??n L(a,b=)?fx(=??骣??1÷÷a＃xbia,b,í?)??桫b-a÷
???0xb当a＃xb时，对似然函数取对数 L(a,b)=-nln(b- a)似然方程：
抖lnL(a,b)lnL(a,b)?a=nba>0,?b=-nba<0
L(a,b)关于a单调递增，关于b单调递减。对样本X1,?,Xn有a＃Xi小值，而b取最大值时，L(a,b)取最大值，故有
a?=min{X1,?,Xn},b?=max{X1,?,Xn}
1
b，即a取最
6－3 解：
∵μ已知， ∴ L(s)=2?n骣?(Xi-m)2÷骣(Xi-m)2÷-1?2÷?÷exp?-=(2ps)exp-?÷ 22÷??÷÷2s?桫2s2ps桫nnlnL(s)=-ln(2p)-lns2--222?(Xi-m)22s2
1ndlnL(s2)n1=-+ds22s22s4邋(Xi-m)2=0?s?2(xi-m)2
6－4 解：似然函数
L(p)=?p(1-k=1np)k-1=p(1-p)n1+2+?(n-1)=p(1-p)nn(n-1)2
lnL(p)=nlnp+n(n-1)ln(1-p) 2dlnL(p)nn(n-1)?=-=0?pdpp2(1-p)(?X=11X=邋knnk=n+1)211=n+1X2
∵ E(X)= 6－5 解：
1?(X)=1=X ，∴ E?pp（1） 似然函数 L(x,q)=?i=1nì?xi?-?-nqfi(xi,q)=?íqe????0x>0
x￡01Xi， ?qdlnL(x,q)n1?1=-+2邋Xi=0?qdqqqn11?)=EX(=)E(邋Xi=)EXi(=（2）∵ E(qnn当x>0时，lnL(x,q)=-nlnq-Xi=X 1) q=q n?=X是θ的无偏估计。 ∴ q
2
6－6 解：∵
n-1轾n-1轾2E(S)=E犏C邋(Xi+1-Xi)=CE犏(Xi+1-Xi)2犏犏i=1臌i=1臌n-1轾2=CE犏(Xi2?+1+Xi-2XiXi+1)犏i=1臌2轾1n=CE犏2n?邋Xi2犏臌ni=1(X+X)-2i=1212nn-1XiXi+1n-1轾1n222=C犏2nE(邋Xi)-E(X1+Xn)-2E(XiXi+1)
êúi=1臌ni=1n-1轾222=C犏2nE(Sn+X)-2E(X)-2?m2犏i=1臌轾n-12s2=C犏2n(s++m2)-2(s2+m2)-2(n-1)m2犏nn臌=2C(n-1)s2若S2是σ2的无偏估计，则有E(S2)=s2?2C(n1)=1?C
l，∴)6－7 解：∵ X~P( E(X)=l,D(X)=l，因此
1
2(n-1)E(X)=E(X)=l，
E(S2)=E(nnnn-122Sn)=E(Sn)=?D(X)n-1n-1n-1nl
∴ X,S2都是λ的无偏估计。
∵ E(aX+(1-a)S2)=aE(X)+(1-a)E(S2)=al+(1-a)l=l ∴ aX+(1-a)S2也是λ的无偏估计。 6－8 证明：
?)=E(邋（1）∵ E(mCiXi)=CiE(Xi)=E(X) Ci=E(X)=m
∴?CiXi是μ的无偏估计。
1nD(X)（2）D(X)=2?D(Xi)=
ni=1n 3
骣n D?CiXi÷÷?邋÷=?桫i=1nD(CiXi)=i=1邋CD(X)=D(X)2iii=1nni=1Ci2
骣珑 而 0?邋Ci珑珑桫i=1n1鼢鼢=n鼢2骣221Ci-Ci+2=nni=1桫n i=1nCi2-1 n1∴ ￡n?n?=C，即 X的方差小于m2ii=1?nCiXi的方差。
i=1
6－9 证明：略
6－10 解：略
6－11 解：
（1） 矩估计法 E(X)= A1=
蝌- + xf(x)=dxX
10a(+a+1a+11)x=dx
a+21?nXi=a+1=Xa+2??a2X-1 1-X（2）极大似然估计法 L(x,a)=?i=1nf(a, )ixn 当 0 ni=1 取对数，lnL(x,a)=nln(a+1)+a?lnxi 似然方程： dlnL(x,a)n=+daa+1?lnxi=0 ?=- 得：a?n-1 lnxid2lnL(x,a)n 而 =-2da2(a+1)?a=a =-?a=a(?lnxi)2n<0 4 ?处取得极大值，即a?=- ∴lnL(x,a)在a?n-1是a的极大似然估计。 lnxi（2） 数值计算： ?=矩估计法：a2X-12?0.5261= 0.110， 1-X1-0.526?=-极大似然估计法：a 6－12 解：略。 6－13 解：X=?n-1=0.352。 lnxi112X=0.58,S=邋innn(Xi-X)2=1X2-X2=1.3336 n（1） 求均值μ的1-a置信区间（s2未知） X-m~t(n-1 )Sn/n-1 当1-a＝0.95，即a＝0.05时，查表得：ta2(n-1)=t0.025(14)=2.1448 轾Sn 置信区间：犏X?ta2(n1)=[-0.0820,1.2420] 犏n-1臌（2） 求方差s2的1-a置信区间（μ未知） 2nSnn-1 ) 2~c2(s222 查表得：ca)=c0.025(14)=26.119,c0.975(14)=5.629 2(n-12轾nS2nSnn犏,=[0.7659,3.5537] 置信区间：犏22c(n-1)c(n-1)1-a2犏臌a2 6－14 解：X=112X=14.889,S=邋innn(Xi-X)2=1X2-X2=0.02879 n（1） 已知s2=0.152 U=X-m~N(0, 1)s/n5