2014同济大学数理方程期末考试试卷
一、（30分）
（1)判断方程uxx?(x?y)2uyy?0的类型。?3,x?0?(2)求函数f(x)=??的广义导数。
2,x?0???d?2du?((1?x))?f(x),0?x?l?的Green函数所满足的方程和边值条件。(3)写出边值问题?dxdx???u(0)?u,u(l)?u?01???utt?uxx?0,x?0,t?0???x(4)求解下列半无界问题（直接用公式）?u(x,0)?e,ut(x,0)?0,x?0??u(0,t)?0,t?0???
?utt?uxx?f(x)cos?t,0?x??,t?0???(5)考虑下列强迫弦振动方程的边值问题：u(x,0)?u(x,0)?0,x?0t??，?u(0,t)?0,t?0???上述强迫弦振动问题是否发生共振？若发生共振，给出共振的条件。
二（10分）、用特征线方法求解下列问题。?ut?cost?ux?0,???x??,t?0???u(x,0)?tanx,???x????三（20分）、求u(x,y)的解。?ut?a2uxx?0,0?x?1,t?0???2?u(x,0)?x(1?x),0?x?1? ?u(0,t)?u(1,t)?0,t?0???
???u?f(x,y,z),inB???四（15分）、(P)?,B??(x,y,z)|x2?y2?z2?1,z?0?,??u|???(x,y,z)???B??B?表示B的边界。(1)求(P)问题所对应的Green函数。(2)用Green函数写出(P)问题解的表达式。
?ut?a2uxx?cu?0,x?R,t?0?五（15分）、??
?u(x,0)??(x),x?R?（提示，先用变量代换化为标准方程再求解）
??(uxx?uxy?uyy)?c(x,y)u?f(x,y),0?x?l?六（10分）、证明??,?u|????(x,y)?f(x,y),c(x,y)?C(?),?(x,y)?C(?)是已知函数且c(x,y)?0.证明：当f(x,y)?0时,u(x,y)在?上的非负最大值必在边界上达到。