第五章 线性系统的频域分析法
1、基本内容和要点 （l）频率特性
系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。 （2）典型环节的频率特性
比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。非最小相位环节的频率特性。
（3）反馈控制系统的开环频率特性
研究系统开环频率特性的意义。单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。
（4）奈奎斯特稳定判据
幅角定理。S平面与F平面的映射关系。根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。奈氏判据在多环系统中的应用和推广。系统的相对稳定性。相角与增益稳定裕量。
（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。
系统频率域性能指标。二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。
（6）系统的闭环频率特性
开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。用等M圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。
2、重点
（l）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。
（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。 （3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕量。
5-1 引言
第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或?和?n与时域指标tp、?和ts、tr及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；
第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；
本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。频域分析是控制理论的一个重要分析方法。
5-2 频率特性
1． 频率特性的基本概念 理论依据
定理：设线性定常系统G(s)的输入信号是正弦信号x(t)?Xsin?t，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率?的函数，即为
c(t)?Y(?)sin[?t??(?)]。
证明：为书写简便，不妨设G(s)无重极点，显然所有极点均具有负实部。
n?Ai?X1X1R(s)?X2；； C(s)?XG(s)?G(j?)?G(?j?)??2222js?j?2js?j?i?1s?pis??s?? 31
Xj?tX?j?tn即 c(t)?G(j?)e?G(?j?)e??Aiepit；
2j2ji?1记G(j?)?a?jb，则G(?j?)?a?jb，|G(j?)|?|G(?j?)|?(a2?b2)1/2，?G(j?)?arctan在过度过程结束后，有
b。 aej?t?e?j?tej?t?e?j?tc(t)?X{a?b}?X|G(j?)|sin[?t??G(j?)]。 证毕。
2j2幅频特性：|G(j?)|，输出信号与输入信号幅度的比值。描述幅度增益与频率的关系；
相频特性：?G(j?)，输出信号的相角与输入信号相角的差值。描述相移角与频率的关系； 频率特性：G(j?)，幅频特性和相频特性的统称。
?|G(j?)|传递函数G(s) ? 频率特性G(j?)?。
??G(j?)2． 频率特性的几何表示法(图形表示方法)
a) 幅相频率特性曲线
幅相频率特性曲线简称为幅相曲线或极坐标图、Nyquist曲线等。横轴为实轴，纵轴为虚轴，当频率?从零变到无穷大时，G(j?)点在复平面上留下频率曲线。曲线上的箭头表示频率增大的方向；
例典型一阶系统G(s)?图形表示的优点是，直观，易于了解整体情况。
11T?； ，|G(j?)|?，?G(j?)??arctan221/2Ts?1(1?T?)1T?G(j?)??j。参见图5-5(P174)
1?T2?21?T2?2幅相频率特性曲线的缺点：不易观察频率与幅值和相角的对应关系。 b) 对数频率特性曲线
对数频率特性曲线又称伯德(Bode)图。伯德图将幅频特性和相频特性分别绘制在上下对应的
两幅图中；横轴为频率轴，单位是弧度，对数刻度；幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴，20log|G(j?)|，单位是分贝db，均匀刻度；相频特性的纵坐标为相移轴，单位是度(也可以用 弧度)，均匀刻度。
例典型一阶系统。参见图5-7(P175) c) 对数幅相曲线(略)
对数幅相曲线又称尼科尔斯图。将对数幅频特性和相频特性绘制在同一幅图中，纵轴为对数幅度增益轴，单位是分贝db，均匀刻度；横轴为相移轴，单位是度，均匀刻度。
5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线绘制
反馈控制系统的开环传递函数通常易于分解成若干典型环节串联，了解典型环节的频率特性，有助于掌握系统的开环频率特性。 1
典型环节：
最小相位环节，幅值相同滞后相角最小的环节；
1.1 1.2 1.3
比例环节K(K?0)； 积分环节1/s；
惯性环节1/(Ts?1) (T?0)；
32
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
振荡环节1/(T2s2?2?Ts?1) (T?0,0???1)； 一阶微分环节Ts?1 (T?0)；
二阶微分环节T2s2?2?Ts?1 (T?0,0???1)； 微分环节s
非最小相位环节，环节的零点或极点在S平面的右半部。
K(K?0)；
1/(Ts?1) (T?0)；
1.10 1/(T2s2?2?Ts?1) (T?0,0???1)； 1.11 Ts?1 (T?0)；
1.12 T2s2?2?Ts?1 (T?0,0???1)；
2
典型环节的频率特性及幅相曲线：K?0，T?0，0???1； 2.1 放大环节G(s)?K和对应的非最小相位环节GF(s)??K；
|G(j?)|?|GF(j?)|?K，?G(j?)?0?，?GF(j?)??180?；
2.2 积分环节G(s)?1/s和微分环节G(s)?s；
|G(j?)|?1/?，?G(j?)??90?；和|G(j?)|??，?G(j?)?90?；
2.3 惯性环节G(s)?1/(Ts?1)和对应的非最小相位环节GF(s)?1/(Ts?1)；
11G(j?)?，GF(j?)?；
?1?jT?1?jT?22?1/2T?，?GF(j?)??180??arctanT?； ，?G(j?)??arctan|G(j?)|?|GF(j?)|?(1?T?)概略作图：
ω |G(jω)| ∠G(jω)
0 ∞ jω 1 0 σ 1/T 1 0 1/T 0 1 0 o
1/T 0.707 -45 o
∞ 0 -90o
ω 0 1 -180 o
1/T 0.707 -135 o
jω 0 ∞ σ ∞ 0 -90o
|GF(jω)| ∠G(jω)
2.4 振荡环节G(s)?1/(T2s2?2?Ts?1)和对应的非最小相位环节GF(s)?1/(T2s2?2?Ts?1)；
|G(j?)|?|GF(j?)|?{(1?T2?2)2?(2?T?)2}?1/2
2?T?12?T?1????arctan???360?arctan????TT??1?T2?21?T2?2?G(j?)??，?GF(j?)??；
2?T?12?T?1????180?arctan22??180?arctan22????TT??T??1T??1??d{(1?T2?2)2?(2?T?)2}?0，计算得， 振荡环节的幅值可能会大于1，由d?11?2?2??n1?2?2，??2/2； ?4T2?(1?T2?2)?4?T(2?T?)?0，→ ?r?T1将谐振频率?r代入幅值计算式，(相对)谐振峰值Mr?|G(j?r)|?。
22?1??
33
振荡环节的幅相曲线形状随阻尼比而改变。
ω |G(jω)| ∠G(jω)
0 1 0 o
1/T 1/(2ζ) -90 o
∞ 0 -180o
ω
0 1 -360 o
1/T 1/(2ζ) -270 o
∞ 0 -180o
|GF(jω)| ∠G(jω)
2.5 一阶微分环节G(s)?Ts?1和对应的非最小相位环节GF(s)?Ts?1；
|G(j?)|?|GF(j?)|?(1?T2?2)1/2，?G(j?)?arctanT?，?G(j?)??1800?arctanT?；
ω |G(jω)| ∠G(jω)
0 1 0 o
1/T 1.414 45 o
∞ ∞ 90o
ω
0 1 -180 o
1/T 1.414 -225 o
∞ ∞ -270o
|GF(jω)| ∠G(jω)
2.6 二阶微分环节G(s)?T2s2?2?Ts?1和对应的非最小相位环节GF(s)?Ts2?2?Ts?1；
|G(j?)|?|GF(j?)|?{(1?T2?2)2?(2?T?)2}1/2
2?T?12?T?1??arctan???arctan????TT??1?T2?21?T2?2，?GF(j?)??； ?G(j?)??2?T?12?T?1???180?arctan22??180?arctan22????TT??T??1T??1??ω |G(jω)| ∠G(jω)
3
开环幅相曲线绘制：
0 1 0 o
1/T 2ζ 90 o
∞ ∞ 180o
ω
0 1 0 o
1/T 2ζ -90 o
∞ ∞ -180o
|GF(jω)| ∠G(jω)
开环传递函数是若干典型环节串联而成，开环幅频特性的幅值是典型环节幅值的乘积，开环相频
特性的相移角是典型环节相角之和。
绘制开环幅相曲线时，无法利用已知的典型环节的幅相曲线(曲线相乘和相加)。幅相曲线是为分析系统而作，不作计算用；一般只需概略绘制，但是，关键部位要准确：起点??0；(??1/Ti)；与负实轴的交点位置；终点???。 例5-1 G(s)?KK，K,T1,T2?0；G(j?)?；
(1?jT1?)(1?jT2?)(T1s?1)(T2s?1)KT1??arctanT2?； ；?G(j?)??arctan|G(j?)|?22221?T1?1?T2???0 ：|G(j0)|?K，?G(j0)?0?；???：|G(j?)|?0，?G(j?)??180?； ?:0??；|G(j?)|从K单调递减到0，?G(j?)从0o单调递减到-180o；
与负实轴无交点。参见P183，图5-18。 例5-2 G(s)?KK，K,T1,T2?0；G(j?)?；
s(T1s?1)(T2s?1)?(T1?T2)?2?j(1?T1T2?2)?K；?G(j?)??90??arctan|G(j?)|?T1??arctanT2?；
2222?1?T1?1?T2???0 ：|G(j0)|??，?G(j0)??90?；???：|G(j?)|?0，?G(j?)??270?； ?:0??；|G(j?)|从∞单调递减到0，?G(j?)从-90o单调递减到-270o；
与负实轴有交点(G(j?)为实数)，交点处??(T1T2)?1/2，交点为(?KT1T2/(T1?T2),j0)。
34
参见P184，图5-19。 例5-3 G(s)?K(1?j??)K(?s?1)，K,?,T1,T2?0；G(j?)?； 22s(T1s?1)(T2s?1)?(T1?T2)??j(1?T1T2?)?K1??2?2；?G(j?)?arctan???90??arctanT1??arctanT2?；
?1?T12?21?T22?2??0 ：|G(j0)|??，?G(j0)??90?；???：|G(j?)|?0，?G(j?)??180?； ?:0??；|G(j?)|从∞变化到0，?G(j?)从-90o变化到-180o； 与负实轴可能有交点(G(j?)为实数)，令G(j?)的分子和分母同乘1?j??，然后分母虚部为零，在??T1T2/(T1?T2)，幅相曲线与实轴有交点，交点处?x?{T1T2??(T1?T2)}?1/2，
2K(1??2?x)。 G(j?x)??222(T1?T2)?x??(1?T1T2?x)?x?s?111?j??例5-4 G(s)?，??T`?0；G(j?)?；?m?；
Ts?11?jT2??T|G(j?)|?1??2?21?T2?2??0 ：|G(j0)|?1，?G(j0)?0?；???：|G(j?)|??/T，?G(j?)?0?； ?:0??；|G(j?)|从1单调递增到τ/T，?G(j?)从0o先增大到极值再减小到0o；
；?G(j?)?arctan???arctanT??0?；?G(j?m)?arctan|G(j?)|???T， 2?T与负实轴无交点。 例5-5 G(s)??s?1Ts?1，T???0；G(j?)?11?j??；?m?；
1?jT2??TT??， 2?T|G(j?)|?1??2?21?T2?2??0 ：|G(j0)|?1，?G(j0)?0?；???：|G(j?)|??/T，?G(j?)?0?； ?:0??；|G(j?)|从1单调递减到τ/T，?G(j?)从0o先减小到极值再增大到0o；
；?G(j?)?arctan???arctanT??0?；?G(j?m)??arctan与负实轴无交点。
K(bmsm?bm?1sm?1??b1s?1)关于开环幅相曲线的小结： G(s)?v； n?vn?v?1s(an?vs?an?v?1s???a1s?1)?0??Kv?0v?0起点：|G(j0)|??；?G(j0)??； ???v?0??v?90v?0终点：|G(j?)|?0，n?m；?G(j?)??(n?m)?90?；
与负实轴的交点：n?2时，与负实轴无交点；K值变化仅改变幅相曲线的幅值和与负实轴交点的
位置，不改变幅相曲线的形状；开环传递函数其它参数的变化改变幅相曲线的形状和与负实轴的交点位置。 4
开环对数频率特性曲线：
绘制开环幅相曲线很难利用已知的典型环节的幅相曲线，绘制对数开环频率特性曲线能够方便的利用已知的典型环节的对数频率特性曲线。 典型环节的对数频率特性曲线
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