式中，A，B是积分常数。
当给定uSu?u时，可以用上式确定。
当给定力的边条时，用位移表示应力分量的表达式确定A，B。
EEduuEBB1???(????)?[??()]?[A???(Ar?)]r?2222?rdrrrr1??1??1??r? ??E[A?B??Ar??B]?E[(1??)A?(1??)B] （5－14） ?22222rr1??r?1??EB???[(1??)A?(1??)]??221??r?应力法和位移法这两种解法求得的位移，积分常数之间的关系为： C21?u?[(1??)Cr?(1??)]1??Er ?
?u?Ar?B?r?1??1??C1,B??C2. 比较得： A?EE 这是按平面应力问题进行的讨论。平面应变问题只需做常数替换。 由：? 得：? ?分析：当?zr?C1?C2r2 和 ???C1?C2r2
r????2C1
?z?1E??zz????r??????1E??z?2?C1?
?0或??const时，?r为常量。即在z方向的变形为均匀变形，垂直于
轴线的平面在变形过程中保持为平面。
5-1-2 均匀厚壁圆筒
如图示的厚壁圆筒内半径为a，外半径为b。内压p1，外压p2。 边条：?rr?a??p1,?rr2r?b??p2
由（5－9）式：?r?C1?C2则有：
??r?C1?r?a?C1?r?bC2a2C2b2r???p1???联解得： ??p2???1?22C?ap?bp21122??b?a ? 22ab?C??p2?p1?222?b?a???解释系数：
?C1a2?C2??p1a2??2222 ??C1(b?a)??p2b?p1a ?22?Cb?C??pb?122???C1?1b2
?a22(p1a2?p2b)2?C2??p1a?1ab2?22??a?2pa?pb?(p?p)1221?2?b2?a2?b?a????22
将C1,C2回代入（5－9）式~（5－10）式：?r，??，?r，??，u 应力分量为式（5－15）： ?r?C1? ?1b?a22C2r2?1b?a222?a2p1?bp2?abr2222?1r2ab222222b?a(p2?p1)
?ap1?bp2b?a2222[ap1?bp2??2?(p2?p1)]?ab(p2?p1)1b?a22r2
2222?ab(p2?p1)1ap1?bp2???r?22222?b?arb?a ? （5－15）
2222ab(p2?p1)1ap1?bp2??????22222?b?arb?a?应变分量：
2222?ab(p2?p1)1ap1?bp21[(1??)?(1??)]??r?22222?Eb?arb?a ? （5－16）
2222ab(p2?p1)1ap1?bp21????[?(1??)?(1??)]22222?Eb?arb?a?位移分量： u?1E[?(1??)ab(p2?p1)1b?a2222r2?(1??)ap1?bp2b?a2222 r] （5－17）
分析：（1） 式（5－15）称拉梅公式，与弹性常数E,?无关，适用于两类平面问题； （2） 式（5－16、17）为平面应力状态下的应变分量，位移分量； （3） 在考虑平面应变问题时，（5－16）、（5－17）式E,?要替换。 轴向分量：（1）平面应力问题? （2）平面应变问题? ?z? ?zzz?0,?z?0 ?0,?z?0
????r1E??z?????
2?E(b?a)22?0时， ?z?1E?????rr??????2?22(ap1?bp2) （5－19）
22222 ?z?0时， ?z??????????2?b?a(ap1?bp2) （5－18）
注：拉梅公式适用于k?b/a为任意值的情况。 下面讨论两种情况：
1、p2?0,p1?0时，仅承受内压p1作用。
22222??abp11ap1ab?2?2(p1?2p1)??r?22222b?arb?ab?ar?22?ap1b ??2 （5－20） (1?2)2r?b?a22?ap1b(1?2)????22b?ar? u?ap1E(b?a)222[(1??)br2 ?(1??)r] （5－21）
2、p1?0,p2?0时，仅承受外压p2作用。
2?bp2(1???r??22(b?a)? ?2bp2????2(1?2??(b?a)?arar22222) （5－22） ) u?bp2E(b?a)222[(1??)ar?(1??)r] （5－23）
分析：图（5－2）则有：
（1）两种均压下，径向应力?r均为压应力，且?即： ?rr?ar(max)??r?a，?r(max)??r?b。
??p1，?rr?b??p2
，即：
（2）均压下切向应力，内压时???0，外压时???0，且，??2max???r?a??
p2?0r?a????b?ab?a2a22222p1?0
?? ??p2?0r?bb?a222p1?0;?0p1?0r?a??2bp2b?a2??p1?0r?b??b?ab?a2222p2?0
第二节 厚壁圆筒的弹塑性分析
基本情况：内外半径分别为a,b的厚壁圆筒，内部受压p，前面公式中p1?p,p2?0理想弹塑性材料。（图5－3）
受力分析：p增大，??增大，?r增大 ? 塑性状态（弹性区域减少，塑
性区域增加）? 截面全部进入塑性状态（塑性极限状态）,此时有：p?pmax，瞬时变形速度无穷大。
讨论问题：限定轴对称平面应变问题（?z增大），??5-2-1 屈服条件
1、塑性理论中的两种屈服条件 （1）米泽斯屈服条件
在极坐标系中，用应力分量表示的屈服条件，由式（3－23）可得出R??s。 ??r???12。
?2??????2????zz??r??6?r????z??zr?2?s
22222?? （2）特雷斯卡屈服条件
用主应力表示，由（3－21）式得出：k??s/2；
max??1??2,?2??3,?3??1???s 2、轴对称平面应变问题（厚壁圆筒）屈服条件
?r????z??zr?0， ?r，??，?z均为主应力。 ?z?0,??12??z?12??r????
将?z代入米泽斯屈服条件，有： ??r????2?[???12??r????]?[21214??r??????]
2 ???r??? ???r??? ???r?2?[???????r?????2??r????2?14??r????2??r??r??????r]
2?2?[??r???12??r????2??r??]
????2??1212??r2r????2?2?r??
2 ???r???2?2??2?2?r??????2?r??
? ??r?2?r???????323212?r?2?r????12212???2?r??
122?r?232???3?r???3??r??r????222????2?
???2r?2?r??????32?32
??r2????2即：
??rr????2?2?s，有
??????2?43?2s
?r????23?s?1.115?s （5－24） (
???0?r?0图（5-2)a)
式（5-24）为轴对称应变问题的米泽斯屈服条件。 当分析图（5－2)a的情况，已知应力大小，并取： ????1,?z??2,?r??3,(????z??r)
且： ???0,?r?0，则有：特雷斯卡屈服条件
????r??s （5－25） 即：在轴对称平面应变条件下，设??12，按两种屈服条件进入塑性状态时，其应力组
23合相同，所满足的条件仅相差一个系数。亦即：当按（5－25）式分析的?s乘以了米泽斯屈服条件的结果。 3、结果解释
则变成
一般，两种屈服条件的数学表达式和物理解释都不相同，而全面的讨论，应力组合相同，满足的条件仅相差一个系数，形成这种状况的原因从两方面解释。 （1）厚壁圆筒的应力偏量状态 ① 在厚壁圆筒内 ????z??r,12?r?0，且为主应力，则有：
?max? ② 因为 ? ??13z(????r)
?12r(????r)，则平均应力?m(?0)为： ??z)?13[?????12(????r)]?12(????r)??z
m(????r ③ 应力偏量： S?????? Sr??r??m?12(????r)??m12ax
m??(????r)???max Sz??z??m?0 即：此时的应力偏量状态为纯剪切。 ④ 结论
在应力状态中(??,?r,?z)减去静水压力(?0)，屈服条件并不改变，即可用应力偏量状态判断材料是否屈服。 （2）分析两个屈服条件 单向拉伸时，(?1?0,?2??3?0)
22 Mises屈服条件： 2???2?s ?????1?
a Trasc屈服条件： ????s
两条件完全一样，而在描述纯剪切时相差15.5%。