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第三章 不定积分
本章主要知识点：
? 不定积分的意义，基本公式 ? 不定积分的三种基本方法 ? 杂例 一、不定积分的意义、基本公式 不定积分基本特点是基本公式较多，灵活善变，复习此章节主要诀窍在于：基本公式熟练，基本题型运算快捷，有一定题量的训练。 1．性质 ??df(x)dx???f(x) ??f(x)dx??f(x)dx ?dF(x)?F(x)?C ??2．基本公式 1n?11xf?(x)dx?f(x)?C f(n)dx?f(n?1)(x)?C （1）?xdx? （2）?adx?xnxn?1?cx(n??1)，?xdx?ln|x|?c axlna?c，?edx?e?c
（3）?sinxdx??cosx?c，?cosxdx?sinx?c，
?secxdx?tanx?c，?cscxdx??cotx?c
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22第三章 不定积分
（4）?（5）?（6）?（7）?1a?x1a?x222dx?arcsin12axa?c，
dx?2ln|a?xa?x2|?c
1x?a1a?x222dx?ln|x?1axax?a|?c ?arctan?c 二、不定积分的三种基本方法 1．凑微分法（第一类交换法） 基本原理：?(x)dx?d(??(x)dx)。 一些常见的固定类型 ????f(ax?b)dx?f(e?x1a?1f(ax?b)d(ax?b) f(e2)e?xdx?12????x)de?x xf(x)dx?x1n?1n2f(x)dx 1n?f(x)dx nn2f(x)dx?x)dx??xf(ln?f(lnx)dlnx ?sinxf(cosx)dx???f(cosx)dcosx x)dx??cosxf(sin?1?f(sinx)dsinx ?1??1fdx??f??2??x?x??x2??1?d???x?? ??secxf(tanx)dx??f(tanx)dtanx
f(secx)dsecx 等等。
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?tanxsecxf(secx)dx??创新、学术、励志、激情 新航道专转本数学内部资料 严禁翻印
例3.1．?x(2x2?1)2007dx 解：原式=
14?(2x?1)22007d(2x?1)?13218032(2x?1)13e22008?c ?c
例3.2．?cosxe3sinx?1dx??e3sinx?1d(3sinx?1)?3sinx?1例3.3．?x2sin(5x3?7)dx 解：原式?13?sin(5x?7)dx115333??sin(5x1513?7)d(5x?7) 3 ??例3.4．?1cos(5x?7)?C dx dlnxu?lnx121412lnxlnxx2lnx?1解：原式??2lnx?1?2u?1?12u?1du 1214
?12?(1?12u?1x)du?u?ln2u?1?C?lnx?ln2lnx?1?C 例3.5．?4?x4dx 解：原式=1?22212?(x)22dx?214arctanx22?C 例3.6．?1cosx(2tanx?1)2dx 112解：原式??1?2tan2secx22xdx??1?2tan2xdtanx?arctan(2tanx)?C 例3.7．?sin(2x2x)dx 121214解：原式?2?sin2xd =例3.8．?e解：原式?
xxu?2x)?C
x?(1?cos2u)du?u?sin(2u)?C x?e?x14sin(4dx
x?ee?edx?x?eexde?exex?C
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第三章 不定积分
例3.9．?x?3x?23x?2解：利用综合除法知
x?3x?2x?23dx
?x?2x?7?12x?2212x?12133
2原式?例3.10．?解：原式? ? ?例3.11．?解： ?(x?2x?7?x?x?x?3x?1422)dx?x?x?7x?12lnx?2?C
632dx 2x?2x?12?(x?x?x?1?1515x?x?1sinx55)dx 121313x?x?3312121x?x?22?x?1d(x?1)?2?2211?x2dx x?x?ln(1?x)?2arctanx?C dx dx,?cos2x?sinx?cos1x1dx??sinsinxxdx???dcosx1?cosxdsinx22??12ln1?cosx1?cosx?C dx??coscosx2xdx??1?sinx?12ln1?sinx1?sinx?C 注：此例对于三角函数相当重要，请熟练掌握。 例3.12．?解：原式??12?cosxdx ?(2?cosx)(2?cosx)dx 2?cosx22?cosx?4?cosxdx??4?cos1322xdx??3?sindsinx2x 13sinx3 ??4sec2secx22x?1dx?arctan(sinx3) ?2?dtanx4tanx?32?arctan() ??(2tanx)13d2tanx2?(3)2?13arctan(sinx3)
?arctan(2tanx3)?13arctanx(sinx3)?C
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例3.13．?sinxsinx?cosxdx
解：原式=? =例3.14．?1(sinx?cosx?sinx?cosx)1?dx=2sinx?cosx212x?12lnsinx?cosx?c
dx ?dx?12??d(cosx?sinx)sinx?cosx
cosx2sinx?3cosx解：令f(x)?2sinx?3cosx，则f?(x)?2cosx?3sinx,cosx?3f(x)?2f?(x)dx?dx 313f(x)?213f?(x) 原式＝?13例3.15．?13f(x)2313x?213ln|2sinx?3cosx|?C 12sinx?cosx2解：原式＝?secx2tanx?1422dx??12tanx?12dtanx?12arctan(2tanx)?C 例3.16．?tanxdx 解：原式=?[tanx?tanx?(tan22422x?1)?1]dx 2 =?tanx(1?tanx)dx??secxdx??dx=?tan2xdtanx?tanx?x?c =例3.17．?13tanx?tanx?x?c 2x?3x?2x?223dx 解：原式=?2(x?1)?5(x?1)?122dx=?d(x?1)22(x?1)?1?5?1(x?1)?12dx =ln(x?2x?2)?5arctan(x?1)?c x3?2x?x2例3.18．?dx
解：原式=?x?1?14?(x?1)2dx=
1?2d(x?1)22?4?(x?1)?14?(x?1)2d(x?1)
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