直线与椭圆的位置关系
一、直线与椭圆相交所成图形的面积问题
例1．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点，若?AOB的面积为求直线l的方程．
13，且点(1,)在该椭圆上． 2262， 7x2例2．直线y?kx?b与椭圆当|AB|?2， ?y2?1交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
4 S?1时，求直线AB的方程．
例3．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(?3，(3，0)的距离之和等于4，设点 0)、P的轨迹为曲线C，直线l过点E(?1,0)且与曲线C交于A、B两点．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面积的最大值？若存在，求出△AOB的面积；若不存在，
说明理由．
x2y21练1．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F1(1,0)，离心率为.
ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；
（Ⅱ）设过点F1的直线交椭圆C于A,B两点，若?PAB的面积为
36，求直线AB的方程． 13x2y2练2．已知椭圆M:2??1(a?0)的一个焦点为F(?1,0)，左右顶点分别为A、B．经过
3a点F的直线l与椭圆M交于C、D两点． （Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45?时，求线段CD的长；
（Ⅲ）记?ABD与?ABC的面积分别为S1和S2，求|S1?S2|的最大值．
x2y2练3．已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
ab2且点A(2,1)在椭圆M上，直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．
2（Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）求?ABC面积的最大值．
x2y2例4．已知椭圆??1的左、右焦点分别为F1、F2．过F1的直线交椭圆于B、D两点，
32过F2的直线交椭圆于A、且AC?BD，垂足为P．求四边形ABCD的面积 C两点，的最小值．
x2y26例5．已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的e?，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
3ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
3（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求?AOB
2面积的最大值．
x2练4．已知椭圆G:?y2?1，过点(m,0)作圆x2?y2?1的切线l交椭圆G于A,B两点，
4（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值；
x2y213练5．已知椭圆G:2?2?1(a?b?0)的离心率e?，且经过点P(1,)．
ab22（Ⅰ）求椭圆G的方程；
1（Ⅱ）设直线l:y?x?m与椭圆G交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴
2于点T，当m变化时，求VTAB面积的最大值．
练6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1(?1,0)，P为椭圆
?45?． G的上顶点，且?PFO1（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l1:y?kx?m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2:y?kx?m2(m1?m2)
与椭圆G交于C，D两点，且|AB|?|CD|，如图所示． （ⅰ）证明：m1?m2?0；
（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．
OBCl1Ayl2Dx
二、直线与椭圆相交所成直角、定角问题
x2y23例1．椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过(2,0)点．
2ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y?x?m与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，若?AOB为直角，
求m的值．
例2．已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1)，且离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）已知过点(?3,Q为椭圆C的左顶点. 26,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点. 5（ⅰ）若直线l垂直于x轴，求?AQB的大小；
（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得?QAB为等腰三角形？
如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.
3x2y2)在椭圆上．练1．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的长轴长为4，且点(1, 2ab（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，若以AB为直径的圆过原点，
求直线l方程
练2．在直角坐标系xOy中，点M到点F1(?3,0),F2(3,0)的距离之和是4，点M的轨迹
是C，直线l:y?kx?（Ⅰ）求轨迹C的方程；
2与轨迹C交于不同的两点P和Q.
????????（Ⅱ）是否存在常数k，使OP?OQ?0? 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
y2?x2?1交于A、B两点，且?AOB为锐角 练3．已知过点M(0,3)的直线l与椭圆C:4（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
2y2x练4．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，M为椭圆的上顶点，且△OMF ab是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角
形三边高线的交点）? 若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
三、直线与椭圆相交所成定值、定点问题
例1．椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l:y?kx?m(k?0)与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆
的左右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A． 求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【定点(,0)】
27x2y2例2．已知椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，点M(0,2)是椭圆的
ab一个顶点，?F1MF2是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，设两直线的斜率分别为
k1、k2，且k1?k2?8，证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标．
x2y2练1．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?2,0)，F2(2,0)，点
abM(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N(3,2)，记直线AN、BN
k2，求证：k1?k2为定值． 的斜率分别为k1、
0)、F2(3，0)，过F1且与坐标轴不平行的直线m与 练2．已知椭圆的两个焦点F1(?3，椭圆相交于M、N两点，如果?MNF2的周长等于8． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点
????????0)，使PE?QE恒为定值? 若存在，求出E的坐标及定值；若不存在， E(m，说明理由．
x2y2??1(t?0)相交于E,F两点，与x轴 练3．已知直线l:x?my?1(m?R)与椭圆C:9t8相交于点B，且当m?0时，|EF|?．
3（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点A的坐标为(?3,0)，直线AE、AF与直线x?3分别交于M、N两点．
试判断以MN为直径的圆是否经过点B? 并说明理由．
x2y22例3．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且经过点M(?2,0)．
2ab（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，连接MA,MB并
延长交直线x?4于P,Q两点，设yP,yQ分别为点P,Q的纵坐标， 且
例4．已知E(2,2)是抛物线C:y2?2px上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于
，直线EA、EB分别交直线x??2于点M、N． A、B两点（不同于点E）（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知O为原点，求证：?MON为定值．
练4．椭圆C的中心为坐标原点O，点A1,A2分别是椭圆的左、右顶点，B为椭圆的上顶点，
一个焦点为F(3,0)，离心率为
1111???．求证：直线l过定点． y1y2yPyQ3.点M是椭圆C上在第一象限内的一个动点，直线 2A1M与y轴交于点P，直线A2M与y轴交于点Q.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若把直线MA1,MA2的斜率分别记作k1,k2，求证：k1k2??（III）是否存在点M使|PB|?
练5．如图，已知抛物线y?4x的焦点为F．过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1)，
21； 41|BQ|? 若存在，求出点M；若不存在，说明理由. 2B(x2,y2)两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．
（Ⅰ）求y1?y2的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2.
yANk证明：1为定值．
k2
OFMBPx