哈工大 2010年 秋 季学期
概率论与数理统计 试 题
一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）
1. 设事件A、B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，则A、B至少
有一个不发生的概率为__________.
?2e?2x2．设随机变量X的概率密度为f(x)??,x?0，则Y?1?e?2X?0,x?0的概率密
度为
?fy)??Y(?.
?? 3．设X~B(n,p),且EX?3,DX?32,则P(X?1)?__________.
4．已知一批零件长度X~N(?,?2),若?未知，从中随机地抽取9个零件，得样本均值x?30s,2 ?，16则?的置信度为0.95的置信区间
是 .
5．已知随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???6e?2x?3y,x?0,y?00, 其它，则
?P(X?2Y?1)? . 二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）
（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）
1．设0?P(A)?1, 0?P(B)?1, P(BA)?P(B)，则与上式不等价的是 （A）P(BA)?P(BA). （B）A与B互斥.
（C）A与B独立. （D）P(AB)?P(A). 【 】
2．．设X21,X2,?,Xn是来自具有?(n)分布的总体的样本，X为样本均值，则
（A）EX?n，DX?2； （B）EX?n,DX?2n;
（C）EX?1,DX?2； （D）
EX?1n,DX?n 【 】
3．如下四个函数，能作为随机变量X概率密度函数的是 ? （A）
f(x)??1?1?x2,x?0.
（B）f(x)?e?x, x?R.
??0,x?0 ?1?e?x,x?0?2x, 0?x?1 （C）f(x)??. （D）f(x)??. 【 】
0,其它x?0??0, 4．设随机变量X服从参数为的指数分布，Y~N(1,4)，且?XY?2112，根据
切比晓夫不等式有：P(?4?2Y?X?2Y?4) ?
（A） （B）. （C）. （D）. 【 】
46891112 5．设X1,X2,?,Xn是总体X~N(?,?2)的样本，EX??,DX??2,X是样本均值，
S2是样本方差，S?2为样本的二阶中心矩，则
2 （A）X~N(?,?). （B）
2nS22?~?(n?1).
2 （C）S?2是?2的无偏估计. （D）X与S2相互独立. 【 】
三、（8分）三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3
个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，求（1）该球是白球的概率；（2）若已知取出一个白球的条件下，它来自第一个箱子的概率。
四、（8分）已知X与Y独立同分布，且X~N(0,1)，Z?X?Y
求（1）利用卷积公式求Z的概率密度fz(z);（2）利用（1）的结论试给出
n个相互独立的正态随机变量线性函数服从何分布？
五、（8分）设随机变量X,Y相互独立，X~B(2,), Y~U[0,1], 设Z?X?Y，
31求Z的分布函数及EZ和DZ.
六、（12分）设总体X~U[?1,?2]，??1??2?X1,?,Xn为来自X的一个简单随机样本，
求（1）?1, ?2的矩估计；（2）?1, ?2的似然估计；（3）已知?2?2条件下，?1的 似然估计是否为?1的无偏估计？为什么？
七（4分）实验室器皿中产生甲、乙两类细菌的机会是相等的，且产生k个细菌的概率为pk?细菌的概率。
?kk!e??,k?0,1,2,? 试求产生了甲类细菌但没有乙类
2010年概率期末答案
一、 填空题： 1.0.9 2. 4.
(x?49?1,0?y?1fY(y)???0，其他 3.63
64?t0.05/（9?1）,x?249?t0.05/（9?1）)?(30?243?2.306,30?43?2.306)
?(26.8,33.2);5．1?3e?2?4e?32
二、选择题：1B 2A 3C 4A 5D
三、解：（1）设B?“取出的一个球是白球”，再设A由全概率公式有
3i?“取到了第i箱”，i?1,2,3，则
P(B)??Pi?1(AiP)B(Ai|1?)315?(3?658?)53120
1（2）P(A1B)?P(A1)P(BA1)P(B)?3?5315?115?12053?853
120四、: (1) 利用卷积公式 5分
fZ(z)???????fX(x)fY(z?x)dx?x2???12???e212?2e?(z?x)22dx?12?12????12?e?14z2??e?x?zx?212z2dx?12(2x?12z)2?12?12????12??12(??e?(x?12z)2e?14z2dx?2???12?2ed（2x?z??)2
?2e2)2z2故有：Z~N(0,2)?N(0,1?1)22（2）若X1,?,Xn为独立n个正态变量，Xi~N?i,?i?2?
)且
?i?1,n?n，则??b?nn?aXii?1i亦为正态变量(a1,?,an不全为0??~N?b???i?12?2ai?i,?ai?i? 3分
i?1?
?0,x?01?五、解：X~B(2,)Y~U[0,1] FY(y)??x,0?x? 13?1,x?1? FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y? )z?z1?)P(X?2)P(Y? ?z ?P(X?0)P(Y?z)?P(X?1)P(Y? ?49FY(z)?49F(z?1)?Y19F(z? 2)Y0,z?0??4??z,0?z?1?9???44?4?1z?2? ???(z?1)?z,??99?9?112??9z?,2?z?3??93??1,z?3??049z23,,z?00?z?2
,2?z?3,z?3z?1 4分
EZ?E(X?Y)?EX?EY?23?12?76 4分
六、解：
?1??2?EX???2（1）由题设??DX?EX2??EX???2???1??2?122
?1??2?2EX???22??2??1?3EX??EX????EX?解得：?1???2?EX?33EXEX2?2
?222??EX?3s3s????EX
???1?x?于是?1,?2矩估计为????2?x? s??s?2 4分
1?,?1?x1??2?（2）似然函数L?x1,?,xn;?1,?2?????1??2?n
其它?0,?1?,?1?x?1????x?n???2?n????2??1?
其它?0,?∴利用似然估计定义：
????1?x?1? 4分 ?1,?2似然估计为：?????2?x?n?(3)已知在?2?2条件下
1?,?1?xi?2?似然函数L?x1,?,xn;?1,????2??1?n（i?1,2,?,n)
其它?0,?1?,?1?x?1????x?n??2?n???2??1?
其它?0,?由似然估计定义：?1的似然估计为??1?x?1? 令Z???1?x?1?之d?fFZ?E?
F??z??P?Z?z??1?P?Z?z??1?P?min?X1,?,Xn??z?
独立同?1?P?X1?z,?,Xn?z????分布?1??1?F?z??
n1?P?P?Xi?z??
n?????1????0,?z??1?1??2??1?1,??,??nz??1?1?z?2z?2?????1????0,?2?z??2??1?1,??,??nz??1?1?z?2z?2
???z（F?z????2??0,??1??11,z??1,?1?z?2z?2）
12?zn?1?(),?1?z?2?n? fZ(z)??2??12??1?0,其它?EZ???21zfZ(z)dz?2n?1?nn?1?1??1,但EZ??1(n??)
?x(1)为?1的渐进无偏估计。 4分
七、解：令A.表示器皿产生了甲类细菌而没有产生乙类细菌事件，而Ai表示产
生了i个细菌的事件（i?1,2,3,?）。
于是有：
?A??i?1AiA?? P(A)???i?1P(Ai)P(AAi)?)i?i?1?ii!?e??1i() 2分 2(??e???i?12i!??2?e??(e2?1)?e?e??2分