深圳市宝安区2017届高三9月摸底考试
数学（理科）
全卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合P?{x|x2?2x≥0}，Q?{x|1?x≤2}，则(eRP)∩Q?（ ） A．[0,1)
2B．(0,2]
C．(1,2)
D．[1,2] D．?1
2．若复数?1+ai??2i（i为虚数单位）是纯虚数,则实数a?（ ） A．1
B．?1
C．0
?0≤x≤3?3．点M(x,y)是不等式组?y≤3表示的平面区域?内的一动点，且不等式
??x≤3y2x?y?m≥0总成立，则m的取值范围是（ ）
A．(??,3] B． [23?1,??)
D．(??,23?1]
4．某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（ ） A．C．?3,???1 3 B．
?2 C． D．1 635． 将函数y?sin?x?来的
????
?的图象上各点的横坐标压缩为原6?1倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调2B．??递增（ ）
????,? ?22???2??D．??,?
63??6．根据如图所示程序框图，若输入m?42，n?30，则输????,? ?36?????C．??,?
?33?A．??出m的值为（ ） A．0 B．3 C．6 D．12
1
7．如图，在?ABC中，A??3 ，?BAC的平分线交BC于D，若AB?4，且
????1????????AD?AC??AB(??R)，则AD的长为( )
4A．23 B．33
C．43 D．53
8．球O半径为R?13，球面上有三点A、B、C，AB?123，AC?BC?12，则四面体OABC的体积是（ ） A．603
9．若??(,π),且3cos2??4sin(A．
B．503 C．606 D．506
π47 9
π??),则sin2?的值为（ ） 4711B．? C．? D．
999
10．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数. 例如[2.7]?2，[?0.6]??1；那
么“[x]?[y]”是“|x?y|?1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
y2x211．已知F2 、F1是双曲线2?2?1 (a?0,b?0的上、下两个焦点，点F2关于渐近)ab线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B．3 C．3 D．2 12．定义在R上的奇函数y?f(x)满足f(3)?0，且当x?0时，不等式f(x)??xf?(x)恒
成立，则函数g(x)?xf(x)?lg|x?1|的零点的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
16)的展开式中的常数项是___________． xx?1?2x?a,a?014．已知实数，函数f(x)??，若f(1?a)?f(1?a)，则a的值为
?x?2a,x≥1?13．二项式(x?________．
15．过点(3,23)的直线与圆x2?y2?2x?3?0相切，且与直线kx?y?1?0垂直，则k的值为____________．
16．已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，a?2，c?3asinC?ccosA，
若△ABC的面积为3，则b?____________．
2
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知等差数列{an}的首项a1?3，且公差d?0，其前n项和为Sn，
且a1,a4,a13分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4项． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）证明：
11131?． ≤????3S1S2Sn4
18．（本小题满分12分）高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其
中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分.” 某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生： （Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）得多少分的可能性最大； （Ⅲ）所得分数?的数学期望．
19．（本小题满分12分）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且
1AD?DB，点C为圆O上一点，且BC?3AC．点P在圆O所在平面上的正投
3影为点D，PD?DB． （1）求证：PA?CD；
（2）求二面角C?PB?A的余弦值．
x2y2?1(a?0)的一个焦点为F(?1,0)，左右20．（本小题满分12分）已知椭圆M：2?a3顶点分别为A,B，经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点． （1）求椭圆方程，并求当直线l的倾斜角为45?时，求线段CD的长； （2）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1?S2|的最大值．
3
21．（本小题满分12分）设函数f(x)?ln(x?a)?x2
（1）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne为无理数）
e．(e?2.71828?，2
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，AC?AB，连接CD,CE，分别于⊙O交于点F，点G.
（Ⅰ）求证：△ADC∽△ACE； （Ⅱ）求证：FG∥AC.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆C的
??x?1?2cos?方程为?（?为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，
??y?1?2sin?建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程?cos???sin??m(m?R).
（Ⅰ）当m?3时，判断直线l与C的关系；
（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于2时，求C上到直线l距离为22的点的坐标.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知|x?1|≤1，|y?2|≤1. （Ⅰ）求y的取值范围；
（Ⅱ）若对任意实数x,y，|x?2y?2a?1|≤3成立，求实数a的值.
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数学（理科）参考答案
一、选择题 题号 1 答案 C 二、填空题
2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 B 8 A 9 C 10 A 11 A 12 C 13． 15； 14．?3 ； 15． 43或0； 16． 2.
三、解答题
17. 解：(1)设等比数列的公比为q，
∵a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4， ∴(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)．(3分) 又a1＝3， ∴d2－2d＝0，
∴d＝2或d＝0(舍去)． ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
b3a4b2
等比数列{bn}的公比为＝＝3，b1＝＝1.
b2a1q∴bn＝3n1.（6分）
(2)证明：由(1)知Sn＝n2＋2n，
11111
∴＝＝?n－n＋2?，（8分） Snn?n＋2?2??111∴＋＋…＋ S1S2Sn
11??1111
1－?＋?－?＋…＋?n－＝??3??24?2???n＋2?? 1111
＝?1＋2－n＋1－n＋2? 2??
13113
＝－?n＋1＋n＋2?<. 42??411115∵＋≤＋＝， n＋1n＋2236
13111
∴－?n＋1＋n＋2?≥， 42??311113
∴≤＋＋…＋<. （12分） 3S1S2Sn4 18.解：（1）得分为50分，10道题必须全做对.
－
11 在其余的四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一
23111111道答对的概率为，所以得分为50分的概率为：P＝????. ………（3分）
4223448 （2）依题意，该考生得分的范围为｛30，35，40，45，50｝.
得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为：
112361P?????; 1?2234488 同样可以求得得分为35分的概率为：
5