专题限时集训(十三) 圆锥曲线中的综合问题 (对应学生用书第143页) [建议用时：45分钟]
x2y23
1．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，右顶点A(2,0)．
ab2
(1)求椭圆C的方程；
?3? (2)过点M?，0?的直线l交椭圆于B，D两点，设直线AB的斜率为k1，直线AD的斜率为k2，?2?
求证：k1k2为定值，并求此定值．
??c3
[解] (1)由题意得?＝，
a2??a＝2，
x2
2
a2＝b2＋c2，
＝2，
?a解得?b＝1，
?c＝3，
所以C的方程为＋y＝1.
4
2
4分
3x2
(2)证明：由题意知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x＝my＋，与＋y＝1联立得
24722
(m＋4)y＋3my－＝0，
4
由Δ＞0，设B(x1，y1)，D(x2，y2)， 7－4－3m 则y1＋y2＝2，y1y2＝2，
m＋4m＋4
6分
8分
＝
k1k2＝
y1y2
x1－
x2－
＝y1y2y1y2
?my1－1??my2－1?m2y1y2－1my1＋y2＋1
??2?2?24????
7
－4
＝723212－m＋m＋m＋424
7
＝－，
4
7
∴k1k2为定值，定值为－. 4
15分
x2y21
2．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与ab2
直线7x－5y＋12＝0相切． (1)求椭圆C的方程；
(2)设A(－4,0)，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ
16
分别交直线x＝于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？
3若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
??12
[解] (1)由题意得?＝b，
7＋5??a＝b＋c，
2
2
2
c1
＝，a2
x2
?a＝4，∴?b＝23，?c＝2，
故椭圆C的方程为＋＝1.
1612
y2
4分
xy??＋＝1，
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋3，由?1612
??x＝my＋3，
＋18my－21＝0，
－18m－21
∴y1＋y2＝2，y1y2＝2.
3m＋43m＋4 由A，P，M三点共线可知
22
∴(3m＋4)y22
6分
28y1
x1＋
. 8分
＝，∴yM＝16x1＋4＋43
yMy1
同理可得yN＝28y2x2＋
，∴k1k2＝
yN9yMyN16y1y2
×＝＝161649x1＋x2＋－3－333
2
yM. 10分
∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7)＝my1y2＋7m(y1＋y2)＋49，∴k1k2＝16y1y212
＝－. my1y2＋7my1＋y2＋497
2
14分 15分
12 ∴k1k2为定值－. 7
3．(2017·杭州高级中学高三最后一模)已知抛物线C1：x＝2py(p＞0)与圆C2：x＋y＝8的两个交点之间的距离为4，A，B为抛物线C1上的两点． (1)求p的值；
(2)若C1在点A，B处切线垂直相交于点P，且点P在圆C2内部，直线AB与C2相交于C，D两点，求|AB|·|CD|的最小值．
222
图13-6
[解] (1)由题易得抛物线与圆的两个交点坐标为(－2,2)，(2,2)，
则代入x2
＝2py得p＝1.
22
(2)设A???x，x12???，B??x21?
x2，2???， 又x2
1＝2y1，则PA的斜率为y′1＝x1.
同理PB的斜率为y′2＝x2，所以x1·x2＝－1， 两切线为y＝x1212
1x－2x1，y＝x2x－2x2，
交点为P?
?x1＋x2?2，－12???
， 点P在圆内得x2
＋x2
12＜33， 直线AB为y＝
x1＋x22
x＋12
过抛物线的焦点???0，12???
，
|AB|＝x21＋x22
22＋p＝12(x2＋x2
12＋2)，
设d为圆心到直线AB的距离，
则|AB|·|CD|＝12
(x22＋2)·28－d2
1＋x2，
d＝
1
x2＋x2
， 12＋2
t＝x2x2
1＋2＋2∈[4,35)，
则|AB|·|CD|＝8t2
－t， 最小值为231.
4．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32的椭圆过点?
?2??
2，2??. (1)求椭圆的方程；
5分
8分
10分
13分
15分
图13-7
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．
【导学号：68334134】
[解] (1)由题意可设椭圆方程为
x2y2
＋＝1(a＞b＞0)， a2b2则＝ca321222
(其中c＝a－b，c＞0)，且2＋2＝1，故a＝2，b＝1. 2a2b所以椭圆的方程为＋y＝1.
4
x2
2
4分
(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，
??y＝kx＋m，由?22
?x＋4y＝4，?
22
消去y得(1＋4k)x＋8kmx＋4(m－1)＝0，
2
2
2
2
222
5分
则Δ＝64km－16(1＋4k)(m－1)＝16(4k－m＋1)＞0， 8kmm－且x1＋x2＝－. 6分 2，x1x2＝2
1＋4k1＋4k故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m， 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
2
2
2
7分
y1y2k2x1x2＋kmx1＋x2＋m22
所以·＝＝k，
x1x2x1x2
8km2
即－2＋m＝0.
1＋4k112
又m≠0，所以k＝，即k＝±.
42
22
2
2
8分 9分
由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m＜2，且m≠1. |2m|
设d为点O到直线l的距离，则d＝，
5|PQ|＝＋k2
10分
－m2
2
x1＋x2
－m2
2
－4x1x2]＝＜
， 11分
12
所以S＝|PQ|d＝m2
m2＋2－m2
2
＝1(m≠1)，
15分
故△OPQ面积的取值范围为(0,1).