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2005年考研数学（三）真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）极限limxsinx??2xx?12= .
（2） 微分方程xy??y?0满足初始条件y(1)?2的特解为______. （3）设二元函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dz?________. (1,0)（4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则
P{Y?2}=______.
（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1
已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则a= ， b= .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当a取下列哪个值时，函数f(x)?2x3?9x2?12x?a恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设I1?2??Dcosx?yd?,I2?22??Dcos(x?y)d?,I3?22??Dcos(x?y)d?,其中
222D?{(x,y)x?y2?1}，则
(A) I3?I2?I1. （B）I1?I2?I3.
(C) I2?I1?I3. (D) I3?I1?I2. [ ]
??（9）设an?0,n?1,2,?,若?an发散，?(?1)n?1an收敛，则下列结论正确的是
n?1n?1??2n?1??2n (A)
?an?1?收敛，?a2n发散 . （B）
n?1??an?1收敛，?a2n?1发散.
n?1(C)
?(an?12n?1?a2n)收敛. (D)
?(an?12n?1?a2n)收敛. [ ]
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（10）设f(x)?xsinx?cosx,下列命题中正确的是 (A) f(0)是极大值，f(?2)是极小值. （B） f(0)是极小值，f(?2)是极大值. )也是极小值.
（C） f(0)是极大值，f(?2)也是极大值. (D) f(0)是极小值，f(?2[ ]
（11）以下四个命题中，正确的是
(A) 若f?(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C）若f?(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.
(D) 若f(x)在（0，1）内有界，则f?(x)在（0，1）内有界. [ ]
（12）设矩阵A=(aij)3?3 满足A*?AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵. 若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为
33(A) . (B) 3. (C)
13. (D) 3. [ ]
（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是
(A) ?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]
（14） 设一批零件的长度服从正态分布N(?,?)，其中?,?均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置信度为0.90的置信区间是
(A) (20?(C)(20?1414t0.05(16),20?1414t0.05(16)). (B) (20?1414t0.1(16),20?1414t0.1(16)).
22t0.05(15),20?t0.05(15)).(D)(20?t0.1(15),20?t0.1(15)). [ ]
三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分8分） 求lim(x?01?x1?e?x?1x).
（16）（本题满分8分）
?y. 设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)?f()?yf()，求x22?x?yxy
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yx2?g22?g2跨考教育bbs.kuakao.com
（17）（本题满分9分）
计算二重积分??x2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
D（18）（本题满分9分）
?求幂级数?(1在区间(-1,1)内的和函数S(x).
n?12n?1?1)x2n（19）（本题满分8分）
设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f?(x)?0,g?(x)?0.证明：对任何a?[0,1],有
?a0g(x)f?(x)dx??10f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).
（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组
?x1?2x2?3x3?0,
（i） ??2x1?3x2?5x3?0,
??x1?x2?ax3?0,和
（ii） ?x?1?bx2?cx3?0,2x?(c?1)x ?21?bx23?0,同解，求a,b, c的值.
（21）（本题满分13分）
设D??AC??B为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m?n矩阵. ?CT???1(I) 计算PTDP，其中P??Em?AC???oE?； n?（II）利用(I)的结果判断矩阵B?CTA?1C是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分13分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)??1,0?x?1,0?y?2x,??0,其他.
求：（I） (X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II） Z?2X?Y的概率密度fZ(z). ( III ) P{Y?12X?12}.
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（23）（本题满分13分）
设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,?2)的简单随机样本，X为样本均值，记
Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.
求：（I） Yi的方差DYi,i?1,2,?,n； （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).
（III）若c(Y1?Yn)2是?2的无偏估计量，求常数c.
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2005年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）极限limxsinx??2xx?12x2= 2 .
【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 limxsinx??x?12=limxx??2xx?12?2.
（2） 微分方程xy??y?0满足初始条件y(1)?2的特解为 xy?2. 【分析】 直接积分即可.
【详解】 原方程可化为 (xy)??0，积分得 xy?C， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.
（3）设二元函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dz【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】
?z?x?ex?y(1,0)? 2edx?(e?2)dy .
?xex?y?ln1(?y),
?z?y?xex?y?x?11?y,
于是 dz(1,0)?2edx?(e?2)dy.
（4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，则a= 【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a. 【详解】 由题设，有 211231a121aa1?(a?1)(2a?1)?0, 得a?1,a?1212 .
234，但题设a?1，故a?12.
（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则
1348P{Y?2}= .
【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.
【详解】 P{Y?2}=P{X?1}P{Y?2X?1}+P{X?2}P{Y?2X?2}
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