培优班寒假作业一 2014-1-14
一、用常规方法计算定积分 【例1】 求下列定积分 （1）（3）
?2?0ln2xcosxdx
2（2）
?30xarctanxdx
?0ex?1dx （3）令ex?1?t,x?ln?t2?1?
【例2】 计算下列定积分（分段函数） （1）
?1?1x2?3xdx min?1,x2?dx
（2）
?e1elnxdx
（3）
?3?2
二、用特殊方法计算定积分 【例1】 计算下列定积分
?（1）I??20f(sinx)dx
f(sinx)?f(cosx)（f为连续函数，f(sinx)?f(cosx)?0）
?（2）I??40ln(1?tanx)dx
pp-t（2）令x=-t， 24 （1）令x=
【例2】 设连续函数f?x?满足f?x??lnx?
三、递推公式形式的定积分 【例1】 设In??f?x?dx，求?f?x?dx
11ee??20sinnxdx?n?01，，2，??
n?1In?2 n（1） 求证当n?2时，In?（2） 求In 【例2】 设Jn???201，2，?? cosnxdx?n?01，，2，??，求证：Jn?In?n?0，0n????2n证 令x??t，Jn???cos??t?d??t???sintdt
022?2??1， 2，?? 则 Jn?In ?n?0，
1
【例3】 设Kn???40tan2nxdx ?? ?n?1，2，3，（1） 求证：Kn?1?Kn?1 2n?12， 3，?? （2） 求Kn ?n?1， 解（1）Kn? ? ?（2）?K1?????40?4tantan2?n?1?x?sec2x?1?dx xdtanx?Kn?1
2?n?1?01?Kn?1 2n?1?402tanxdx? secx?1?dx ??24?0?1? ??tanx?x? 4??40，
K2?1???1?1??????1??，K3?????1??? 3?4?5?3?4??当n?3，正整数时
k?1n???1??n?1Kn???1????1??1???
4??k?22k?1??n?四、反常积分
【例1】 求下列反常积分的值. (1)
ò0+ e-axcosbxdx (a>0)
(2)
ò01dx
(2-x)1-x解 （1）用分部积分法可得
òel?-axe-axcosbxdx=2(-acosbx+bsinbx)+C 2a+bl0而
蝌0+ e-axcosbxdx=lim e-axcosbxdx
e-axal(-acosbx+bsinbx)=＝lim2 0l? a+b2a2+b2（2）令x?sint，则
2dx=蝌0(2-x)1-x1p202sintcostdtsint2=2dt 220(2-sint)cost1+costp＝-2
蝌pdcost201+cos2t令cost=u-201du 21+u2
＝2duò01+u2
1＝2arctanu0=1p 2（注：x=1是瑕点）
有关变限积分和积分证明题
一、变上（下）限积分 设
F?x????2?x??，其中
f?x?连续，?1?x?f(t)dt1(x)，?2(x)F??x??f???2?x????2??x??f???1?x????1??x?
二、一些证明题的基本技巧
一、变上（下）限积分 【例1】 设f?x???xlnt1dt(x?0)求f?x?f??1?1?t??x??
【例2】 设f?x???a?xt?2a?t?dt （a为常数）求I??a0e0f?x?dx
二、证明定积分等式
】 证明等式?ax3f?x20?dx?12?a2【例10xf?x?dx ?a?0常数? 令x2?t，则xdx?12dt
【例2】 设f?x?在?0，1?上连续，求证：??0xf?sinx?dx??2??0f?sinx?dx
令x???t，则
【例3】 证明：当x?0时 ?1dt1xdtx1?t2??11?t2 令t?1u，则
【例4】 设f?x?，g?x?在?a，b?上连续，证明存在???a，b? 使得 f????bg(x)dx?g??????af(x)dx
3
可导，则
令 F?x???xaf(tdt)?bxgt(dt )罗尔定理
三、证明定积分不等式
【例】 设f?x?在?a，b?上连续，且单调不减，证明
?baxf?x?dx?a?bb2?af(x)dx
令 F?x???xa?xxatf(tdt)?2?aft(dt )
有关变限积分和积分证明题
（甲）内容要点
一、变上（下）限积分 设
F?x????2?x??f(t)dt，其中
f?x?连续，?1?x?1(x)，F??x??f???2?x????2??x??f???1?x????1??x?
二、一些证明题的基本技巧
（乙）典型例题
一、变上（下）限积分 【例1】 设f?x???xlnt11?tdt(x?0)求f?x??f??1??x?? 解 令 g?x??f?x??f??1?xlnt1?x??，则g?x???11?tdt??xlnt11?tdt ln1于是 g??x??lnx1?x?x?1?1???1?lnxx2???x x因此 g?x???lnx1xdx?2ln2x?C
∵ g?1??f?1??f?1??0，∴C=0 则 g?x??f?x??f??1??x???12ln2x 【例2】 设f?x???a?xt?2a?t?a0edt （a为常数）求I??0f?x?dx
4
2(x)可导则
?，
解 I?xf?x??0a?a0xf??x?dx???xe0a?a?x???2a??a?x?????1?dx
＝
?a0xe?a2?x2?1a?a2?x2?dx???ed?a2?x2?
20a1?a2?x2?12?ea?1 ＝?e220??
二、证明定积分等式
1a2【例1】 证明等式?xf?x?dx??xf?x?dx a?0常数? ?00212证 令x?t，则xdx?dt
2a322当x?0时，t?0；当x?a时，t?a；由于x?t在?0，a?是是单调连续的，故
?a01a21a2xf?x?dx??tf?t?dt??xf?x?dx
202032【例2】 设f?x?在?0，1?上连续，求证：证 令x???t，则
??0xf?sinx?dx??2?0?f?sinx?dx
??0xf?sinx?dx??????t?f??sin???t???dt ?0 ????0???t?f?sint?dt?????x?f?sinx?dx
0? ??于是， 2则
??0f?sinx?dx??xf?sinx?dx
0???0xf?sinx?dx???f?sinx?dx
0
??0xf?sinx?dx??1f?sinx?dx ?20?1dtdtx【例3】 证明：当x?0时 ???11?t2 x1?t21证 令t?，则
u1dt1? ??1x1x1?t21?2u111dudt?1?xx?du?? ?2??12?11?t2uu?1??【例4】 设f?x?，g?x?在?a，b?上连续，证明存在???a，b? 使得 f????g(x)dx?g????f(x)dx
?ab? 5