1 3 5 7 ??n 2 4 6 8 n-1
53.n条直线将平面分成多少个区域？假设无三线共点，且两两相交。 54.四位十进制数a b c d，试求满足a+b+c+d=31的数的数目。
55.两名教师分别对6名学生面试，每位教师各负责一门课，每名学生面试时间固定，6名学生面试时间定于下周一的第1节至第6节课，两门课的面试分别在901和902两个教室进行。试问共有多少种面试的顺序。
56. 对正六角形的6个顶点用5种颜色进行染色，试问有多少种不同的方案？旋转或翻转使之重合的视为相同的方案。
58. 生成矩阵
?1??0 G??0??0?010000100001111001111??1? 0??1??试求相应的校验矩阵H。
59.由m个0，n个1组成的n+m位符号串，其中n≤m+1,试求不存在两个1相邻的符号串的数目。
60.n个男人与n个女人沿一圆桌坐下，问两个女人之间坐一个男人的方案数，又m个女人n个男人，且m x1?x2?x3?40,6?x1?15,5?x2?20,10?x3?25的整数解数目。 63.求不超过120的素数的数目。 64.试说明A4群中各置换的不同格式及其个数。 65.已知生矩阵 ?1??0 G??0??0?010000100001011110111??1? 0??1?? 求下列信息的码字？ （a） 1110 (b) 1000 (c) 0001 (d) 1101 66.有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最大数，有多少种取法？ 67.设某组织有26名成员，要选一名主席，一名会计，一名秘书，且规定一人不得担任一个以上职务，问有多少种选法？ 68.从整数1，2，?，100中选取两个数。（1）使得它们的差等于7；（2）使得它们的差小于或等于7，各有多少种选取方式？ 69.有n个相同的红球和m个相同的白球；那么这m+n个球有多少种不同的排列方式？ 70.一个工厂里已装配了30辆汽车，可供选择的设备是收音机、空调和白圈轮胎。这30辆汽车中，15辆有收音机，8辆有空调，6辆是白圈轮胎，而这三种设备都具有的汽车有3辆，试求这三种设备都不具备的汽车至少有多少辆？ 71.数1，2，?，9的全排列中，求偶数在原来位置上，其余都不在原来位置上的错排数目。 72.在等于300的自然数中：（1）有多少个不能被3，5和7整除的数？（2）有多少个能被3整除，但不能被5和7整除的数？ 73.求下列数值函数的生成函数： （1）ar?cr(r=0，1，2，?)，其中C为实数。 (2) ar???1?r?（r=0,1,2,?）,其中a为正整数。 ???，74.求下列生成函数的数值函数：其中A?x??x2?5?6x?x2? nn??2??n. 75.用生成函数求下式之和： 1??12????n?n??q??r?76.一个人上楼梯，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，令an表示有n 个台阶时的上楼方式数，写出an的递推关系，并求解之。 77.利用特征方程法解递推关系： ??an?an?1?9an?2?9an?3,n?3 a?0,a?1,a?2012?n78.求下列递推关系的特解 an?3an?1?2an?2?2 79.1)求小于10000的含1的正整数的个数 2)求小于10000的含0的正整数的个数。 80．在100名选手之间进行淘汰赛(即一场的比赛结果，失败者退出比赛),最后产生一名冠军，问要举行几场比赛？ 81. 计算[1,n]的无重不相邻组合C?n,r?的计数问题 82. 某保密装置须同时使用若干把不同的钥匙才能打开。现有７人，每人持若干 钥匙。须４人到场，所备钥匙才能开锁。问①至少有多少把不同的钥匙？②每人至少持几把钥匙？ 83. 凸10边形的任意三个对角线不共点，试求这凸10边形的对角线交于多少 点？又把所有对角线分割成多少段？ 84.在5个0，4个1组成的字符串中，出现01或10的总次数为4的，有多少个? 85. 整数n拆分成1，2，3，?，m的和，并允许重复，求其母函数。 86.某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次， 每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇1次，1人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议？ 87. 给出下列等式的组合意义： l?n?m?m?m??n?l????????1?n?k???l????k??,n?k?m?l?0????（a）? ?m?l?1??m?l??m?l??m?l?l?m?l????????????????????1?m?1??m??m?1??m?2??m?l???????????? (b) 88. 将正整数10写成3个非负整数n1,n2,n3的和，要求n1?3,n2?4,n3?6，有多少种不同的写法？ 89. 计算母函数G?x???1?2x??1?3x?x?的头6项。 290. 红、白、黑三色球各8个，现从中取出9个，要求3种颜色的球都有，问有多少种不同取法？ 91. 求序列c?n,0?,?c?n,1?,c?n,2?,??,??1?nc?n,n?的母函数。 92. 解递归关系an?an?2?0,a0?0,a1?2 93. 求下列表达式中求出a50的值 ?x?3??x2?3x?2??a0?a1x????a50x50?? 94.设ar是掷两个骰子时和为r的方式数，其中第一个骰子的点数为偶数，第二 个骰子的点数为奇数，求序列?a0,a1,a2???的母函数。 95. 有多少棵有n个顶点的二叉数？ 96．求下式之和 1?c?n,1?/2?c?n,2?/3??????1?nc?n,n?/?n?1? 97．展开多项式?x1?x2?x3? 498.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。 99.试求n个完全一样的骰子掷出多少种不同的方案？ 100. 写出全部部分数最小的19-完备分拆 kn?????fn?2??101. 已知，求f?n? n102. 求方程x1?2x2?4x3?17的非负整数解的个数。 四、证明题 1.证明：{1,2,?,n}的全排列的最大逆序数是n(n-1)/2。试确定具有n(n-1)/2个逆序的唯一排列。 2.证nc?n?1,r???r?1?c?n,r?1?．并给出组合意义. 3.n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子，n≥r，要求无一空盒，试证其方案数为c?n?1,r?1?. 4. 试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数． 5. 试证明：c?0,m??c?1,m?????c?n,m??c?n?1,m?1? 6. 证明：(C(n,0))2+(C(n,1))2+?+(C(n,n))2 = C(2n,n) 7. 证明：若F1?F2?1, Fn?Fn?1?Fn?2 (n>2)，则 nnFn???1?5/2?1?5/2??/5?? ??n??n/5??????????其中α=（1+√5）/2，β=（1-√5）/2 8. N个代表参加会议，试证其中至少有两个人各自的朋友数相等。 9. 证明：12?22??n2?n?n?1??2n?1?/6 10. 证明：?2n?!/2n是整数。 11. 证明：在边长为1的等边三角形内任取5点，试证至少有两点的距离小于1/2。 ?112.证明： ??1?1??Fn?1?????F0??nnFn?? Fn?1?? 其中Fn定义为：F1?F2?1，Fn?Fn?1?Fn?2 13.任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。 14.在边长为1的正方形内任取5点，试证其中至少有两点，其间距离小于2/2。 15.若H是群G的子群，试证：|xH|=K, 其中K＝|H|，x∈G。 16.二维空间的点（x,y）的坐标x和y都是整数的点称为格点。任意5个格点的 集合A，试证A中至少存在两个点，它们的中点也是格点。 17.证明：在由字母表{0，1，2}生成的长度为n的字符串中，0出现偶数次的字符串有（3n+1）/2个。 18.试证任意r个相邻的正整数的连乘积（n+1）(n+2)?(n+r)必被r!除尽。 19.证明：c?m,0?c?m,n??c?m,1?c?m?1,n?1?????c?m,n?c?m?n,0??2nc?m,n? 20.证明c?n,1??2c?n,2?????nc?n,n??n2n?1 21. 任取5个整数，试求其中必存在3个数，其和能被3整除。 22. 若H是群G的子群，x和y 是G的元素。试证xH∩yH或为空集，或xH=yH. 23. 令S={1，2，?，n+1},n≥2,T???x,y,z??S,x?z,y?z? 试证：T?12?22?......?n2?C?n?1,2??2C?n?1,3?。 24. 证明：任何K个相继的正整数之积，必是r的倍数，其中r=1，2，?，K。 n?22n2n2n25. 求证：?2n?1?=?n?1??2?n???n?1?。 k26. 使用二项式定理证明????2,试推广到任意实数r，求??nk?r。 nnk?0nkknk?027. 证明A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C 28. 证明任何k个相继正整数中，有一个必能被k整除。 29. 证明在小于或等于2n的任意n+1个不同的正整数中，必有两个是互等的。 30. 证任一正整数n可唯一地表成如下形式:31. 对于给定的正整数n,证明当 ,0≤ai≤i,i＝1,2,?。 时，C?n,k?是最大值。 32. 证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为n的字符串中,0出现偶数次的字符串 有 个； 33. 设有三个7位的二进制数：a1a2a3a4a5a6a7，b1b2b3b4b5b6b7，c1c2c3c4c5c6c7。 试证存在整数i和j，1?i?j?7，使得下列之一必定成立， ai?aj?bi?bj,ai?aj?ci?cj,bi?bj?ci?cj。 34.证明：在n阶幻方中将每个数码a换成n2?1?a，所得的阵列仍是一个n 阶幻方。（注：所谓幻方是指一个n?n方阵，其中的元素分别是1,2??n2，且每列的元素和均相等） 35.证明：把有n个元素的集合s划分为k个有序集合的个数等于kn