复变函数与积分变换试题与答案
一 判断正确与错误（每题3分）
1．若uxy则f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数。(,)与v(x,y)都是调和函数，
（ ）
（ ） （ ） （ ）
2．因为|sinz|?1，所以在复平面上sinz有界。 3．若f(z)在z0解析，则f(n)(z)也在z0解析。 4．对任意的z，Lnz2?2Lnz
二 填空（每题3分）
1．
ii? ， arg? 。
?2?2i?2?2i2．ln(?3i)? ， ii? 。 3.在映照f(z)?22?z下4z，曲线C在z?i处的伸缩率
是 ，旋转角是 。
1?e2z4.z?0是的 阶极点，4z1?e2zRse[4z?, 0 ] 。
三 解答题（每题7分）
1. 设f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)。问常数a,b,c,d为何值时f(z)在复平面上处处解析？并求这时的导数。
2. 求(?1)的所有三次方根。
3．?Cz2dz 其中C是z?0到z?3?4i的直线段。 4．?|z|?2ezcoszdz。(积分曲线指正向)
135．?|z|?2dz。(积分曲线指正向)
z(z?1)(z?3)1在1?|z|?2上展开成罗朗级数。
(z?1)(z?2)126 将f(z)?7.求将单位圆内|z|?1保形映照到单位圆内|w|?1且满足f()?0，
1πargf?()?的分式线性映照。
22四 解答题（1,2,3题各6分, 4题各9分）
1．求f(t)???0 t?0?e?kt t?0 （k为正实数）的傅氏变换。
2. 设 f(t)?t2?te?t?e2tsin6t??(t), 求f(t)的拉氏变换。 3. 设 F(s)?1，求F(s)的逆变换。 22s(s?1)4. 应用拉氏变换求解微分方程
?t?y???2y??3y?e ?
?y(0)?0y, (?0)?1复变函数与积分变换试题答案
一 判断正确与错误（每题3分）
1若u(x,y)与v(x,y)都是调和函数，则f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数。（×） 2．因为|sinz|?1，所以在复平面上sinz有界。 （×）
3．若f(z)在z0解析，则f(n)(z)也在z0解析。 （√）
4．对任意的z，Lnz2?2Lnz （×）
二 填空（每题3分）
π??2kπi3ππi2i]??。1．， arg[ 2．ln(?3i)?ln3?i, i?e2。 ??2?2i42?2?2i43.在映照f(z)?2z2?4z下，曲线C在z?i处的伸缩率是42，旋转角是π。 41?e2z1?e2z44.z?0是4的3阶极点，Res[4,0]??。
z3z三 解答题（每题7分）
4. 设f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)。问常数a,b,c,d为何值时f(z)在复平面上处处解析？并求这时的导数。
解:
因为
?u?v?u?v?2x?ay,?ax?2by,?2cx?dy,?dx?2y,(2分)则 ?x?x?y?y??u?v??x??y?2x?ay?dx?2y?对任意的(x,y)有? 即?(1分) 可得:
ax?2by??2cx?dy?u?v??????x??y a?d?2,b?c??1f?(z)?(2分).
这时
,
?u?v?i?2(x?y)?2i(x?y)或2z?2iz(2分) ?x?x135. 求(?1)的所有三次方根。
解:(?1)?cos132k+12k+1ππ13π+isinπ k?0,1,2 (4分), w0?cos+isin=+i , 333322w1?cosπ+isinπ =?1,w2?cos5π5π13+isin= ?i (3分) 33223．?Cz2dz 其中C是z?0到z?3?4i的直线段。
解: 原式?[zdz]原式??23?4i03分z33?4i2分(3?4i)3?[]0?(2分)或 33?30434分43x331分4x(1?i)dx?(1?i)[]0?9(1?i)3(2分)
333324．?|z|?2ezcoszdz。(积分曲线指正向) 解:原式=0. (7分)
5．?|z|?2dz。(积分曲线指正向)
z(z?1)(z?3)解: 原式?2πi?Res[f,0]?Res[f,?1]?(3分)(2分) 11πi =2πi[lim?lim]??(2分)z?0(z?1)(z?3)z??1z(z?3)66 将f(z)?1在1?|z|?2上展开成罗朗级数。
(z?1)(z?2)?11zn1解: 原式??(1分)=-?n?1?n?1] (3?3分)
z?2z?1zn?027.求将单位圆内|z|?1保形映照到单位圆内|w|?1且满足f()?0，
1πargf?()?的分式线性映照。
221z?2(4分),则解: 设w?f(z)?ei?11?z22z?1w?i(2分).
2?z1214πf?()?ei????(2分)232,故
四 解答题（1,2,3题各6分, 4题9分）
?0 t?01．求f(t)???kt （k为正实数）的傅氏变换。
?e t?0???11??解: F(?)??e?kte?i?tdt(2分)?[e?(k?i?)t]0?.
0k?i?k?i?3. 设 f(t)?t2?te?t?e2tsin6t??(t), 求f(t)的拉氏变换。
116???1 (1,2,2,1分) s3(s?1)2(s?2)2?3616. 设 F(s)?22，求F(s)的逆变换。
s(s?1)解: F(s)?(1分)11-1解: L[F(s)]?L[2]?L[2] ? t?sint (2.5,2.5分)
ss?1-1-14. 应用拉氏变换求解微分方程
?t?y???2y??3y?e ?
?y(0)?0y, (?0)?1解: 因为s2Y(s)?sy(0)?y?(0)?2[sY(s)?y(0)]?2Y(s) ?1, (3分)所以 s?1(2分)s?2311Y(s)? ???(2分)
(s?1)(s?1)(s?3)8(s?1)4(s?1)8(s?3)311151y(t)?et?e?t?e?3t(2分)或y(t)?cht?sht?e?3t(2分)
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