量子力学试题A
第一部分：必答题，共9小题，66分。 1（6分）量子力学的基本假设有那些？
2（4分）试用态迭加原理说明薛定鄂方程必须是线性的。 3（4分）一维无限深势阱能量本征函数ψn(x)与线性谐振子本征函数ψn(ξ)的节点个数各是多少？
4（6分）证明算符在自身表象中是对角矩阵（设算符只具有分立的本征值）。
5（8分）写出厄米算符的定义式并证明厄米算符属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
??6（8分）证明在角动量Jz任一本征态中
7（10分）设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及E02，现在受到微扰H'的作用，微扰矩阵元为H’12=H’21=a，H’11=H’22=b，a和b都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。
8（10分）设氢原子处于状态
?(r,?,?)?13R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?) 22?求氢原子能量，角动量平方及角动量分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
?9（10分）求Sx??的本征值及所属的本征函数。电子??2?10????01?处于αz态，求测量sx=?的概率各为多少？
第二部分：选答题，34分。其中10～13题选答其中之二，共14分。14～16题选答其中之二，共20分。
10 （7分）真实力学量的任何测量值必须为实数，这个性质决定了表征力学量的算符的什么特性？
11（7分）许多实际问题最后都归结为两个量子力学基本模型的求解，一个是类氢原子模型，另一个模型是什么？ 12 （7分）两个电子的自旋函数有三个是对称的，一个是反对称的，但两个电子构成费米子体系，而费米子体系的波函数只能是反对称的，如何解释上述矛盾？
13（7分）用单粒子归一化波函数ψ(x,y,z)表示下面概率：y1≤y≤y2 同时粒子动量分量pz≥0。
?14 （10分）算符Q的本征矢为│1>，│2>和│3>，相应的
?2本征值为Q1，Q2，Q3。设│ψ>=a1│1>+a2│2>+a3│3>，a1，a2，a3为实的常数。
?（1）在Q表象写出态函数ψ的矩阵； ??（2）在Q表象写出算符Q的矩阵；
（3）在Q表象写出算符F的矩阵。
??15 （10分）两个角动量的耦合系统，试用狄拉克符号写出耦合表象和非耦合表象基矢间的关系。当j1和j2给定时相互独立的状态数│jm>有多少？以j1=j2=1/2为例列出j和m的可能取值及相应状态验证之。
16 （10分）一电荷为e的线性谐振子受恒定电场ε作用，求体系的定态能量和波函数。