1.1.2 余弦定理(一)
[学习目标] 1.理解余弦定理的证明.2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形．
[知识链接]
1. 以下问题可以使用正弦定理求解的是 ．
(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． (2)已知两角和一边，求其他角和边．
(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角． (4)已知一个三角形的三条边，解三角形． 答案 (1)(2)
2．如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)．利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？
解 a＝|BC|＝(bcos A－c)＋(bsin A－0) ＝b(sinA＋cosA)－2bccos A＋c ＝b＋c－2bccos A. 得出a＝b＋c－2bccos A. [预习导引] 1．余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即
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a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.
2．余弦定理的变形
b2＋c2－a2cos A＝，
2bcc2＋a2－b2
cos B＝，
2ca 1
C＝a2＋b2－c2
cos 2ab.
要点一 已知两边及一角解三角形
例1 已知△ABC，根据下列条件解三角形： (1)b＝3，c＝33，B＝30°； (2)a＝3，b＝2，B＝45°.
解 (1)方法一 由余弦定理b2
＝a2
＋c2
－2accos B， 得32
＝a2
＋(33)2
－2a×33×cos 30°， ∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，由于b＝3，∴A＝B＝30°，∴C＝120°. 1当a＝6时，由正弦定理得sin A＝asin B6×2b＝3＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
1方法二 由正弦定理得sin C＝csin B33×
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b＝3＝2，
由b 当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝b2 ＋c2 ＝32 ＋3 2 ＝6， 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形． ∴a＝b＝3. (2)由余弦定理知b2 ＝a2 ＋c2 －2accos B. ∴2＝3＋c2 －23·2 2 c. 即c2 －6c＋1＝0，解得c＝6＋26－2 2或c＝2 ， 6当c＝6＋22＋＋22 2－3 2时，由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝＝1 . 2×2× 6＋2 22∵0°＜A＜180°，∴A＝60°，∴C＝75°. 2 6－22 2＋－3 26－2b＋c－a1 当c＝时，由余弦定理，得cos A＝＝＝－. 22bc26－2 2×2× 2 2 2 2 ∵0°＜A＜180°，∴A＝120°，C＝15°. 故c＝ 6＋26－2 ，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°. 22 规律方法 已知两边及一角解三角形有以下两种情况： (1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角． 跟踪演练1 在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x＋7x－6＝0的根，求第三边长c. 解 5x＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0. 3 ∴x1＝，x2＝－2(舍去)． 53 ∴cos C＝. 5根据余弦定理， 2 2 c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16. ∴c＝4，即第三边长为4. 要点二 已知三边或三边关系解三角形 例2 (1)已知△ABC的三边长为a＝23，b＝22，c＝6＋2，求△ABC的各角度数． (2)已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角． 35 b2＋c2－a2 解 (1)由余弦定理得：cos A＝＝2bc＝60°. 2 2 ＋6＋2 2 －3 2 2×226＋2 1 ＝，∴A2 a2＋c2－b2 cos B＝＝ 2ac3 2 ＋6＋2 2 －2 2 2×236＋2 ＝2， 2 ∴B＝45°，∴C＝180°－A－B＝75°. (2)∵c＞a，c＞b，∴角C最大．由余弦定理， 得c＝a＋b－2abcos C， 即37＝9＋16－24cos C， 2 2 2 3 1 ∴cos C＝－， 2∵0°＜C＜180°， ∴C＝120°. ∴△ABC的最大内角为120°. 规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形． 跟踪演练2 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长． 解 由余弦定理和条件，得 AB2＋AC2－BC292＋82－722 cos A＝＝＝， 2·AB·AC2×9×83 设中线长为x，由余弦定理，得 ACACx2＝()2＋AB2－2··ABcos A 2 2 222 ＝4＋9－2×4×9×＝49，∴x＝7. 3所以所求AC边上的中线长为7. 要点三 三角形形状的判断 例3 在△ABC中，已知cos 2 Ab＋c＝，判断△ABC的形状． 22c2 解 方法一 在△ABC中，由已知cos1＋cos Ab＋c＝， 22c∴cos A＝. Ab＋c＝，得 22cbcb2＋c2－a2b根据余弦定理，得＝. 2bcc∴b＋c－a＝2b，即a＋b＝c. ∴△ABC是直角三角形． 方法二 在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 2 2 2 2 2 2 2 b＋cb2A由cos ＝知，cos A＝. 22ccsin B∴cos A＝，即sin B＝sin Ccos A. sin C 4 ∵B＝π－(A＋C)， ∴sin(A＋C)＝sin Ccos A， ∴sin Acos C＝0. ∵A，C都是△ABC的内角， π ∴A≠0，A≠π.∴cos C＝0，∴C＝. 2∴△ABC是直角三角形． 规律方法 (1)方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段． (2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用． 跟踪演练3 在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判断△ABC的形状． a2＋c2－b2 解 方法一 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为(a－c·)b＝(b－ 2acb2＋c2－a22222222222222c·)a，整理得：(a＋b－c)b＝(a＋b－c)a，∴a＋b－c＝0或a＝b， 2bc故三角形为等腰三角形或直角三角形． 方法二 由正弦定理，原等式可化为(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A， ∴sin Bcos B＝sin Acos A，∴sin 2B＝sin 2A， π ∴2B＝2A或2B＋2A＝π，∴A＝B或A＋B＝， 2故△ABC为等腰三角形或直角三角形． 3 1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长为5( ) A．52 B．213 C．16 D．4 答案 B 3222 解析 设另一边长为x，则x＝5＋3－2×5×3×(－)＝52，∴x＝213. 52．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( ) 5