高等数学一第5章课后习题详解
课后习题全解
习题5-1
★★1.利用定积分的定义计算由抛物线
y?x2?1，直线x?a，x?b(b?a)及横轴所围成的图形的
面积
知识点：定积分的定义及几何意义 思路：根据求定积分的三步骤做
解:将?a,b?分成n等分,取?i(i?1,2?,n)为第i个小区间[a?点,则?i?1i(b?a),a?(b?a)]的右端nn??xi?b?ab?a, ?i?a?i?, nn 显然, ?b?0?n??,于是根据定积分的几何意义,该图形面积
nn
b?a2b?a A??ydx?lim?y(?i)?xi ?lim?[(a?i?)?1]a??0n??nni?0i?1b?an2b?a(b?a)22?lim?[a?1?n2ai?n2i]n??ni?1nb?ab?a(b?a)2n22?lim[n(a?1)?2a?i?i] ?2n??nnni?1i?1
2a(b?a)n(n?1)(b?a)21???n(n?1)(2n?1)]} ?lim{(b?a)[a?1?23n??n2n621(b?a)211(1?)?(?1)(?2)] ?(b?a)lim[a?1?a(b?a)?n??n6nn2(b?a)2b3?a3]??(b?a). ?(b?a)[a?1?ab?a?3322★★2.利用定积分的定义计算下列积分：
知识点：定积分的定义
思路：根据求定积分的三步骤做
(1)
?baxdx(a?b).
b?a, n解:易见函数f(x)?x?C?a,b?，从而可积，将?a,b?分成n等分，则???xi? 于是? ?i?0?n??,；取?i(i?1,2?,n)为第i个小区间的右端点，则 b?a?a?i?,i?0,1,2,?,n?1,
n 所以
?bab?ab?a xdx?lim?f(?i)?xi?lim?(a?i?)??0n??nni?0i?0n?1n?11b?a[na?(0?1?2???n?1)]}
n??nnb?an(n?1)b?a1?(b?a)lim[a?2?]?(b?a)lim[a??(1?)]
n??n??n22nb?a1)?(b2?a2). ?(b?a)(a?22 ?(b?a)lim{(2)
?e1lnxdx
in解:用分点xi?e(i?0,1,?,n)划分区间?1,e?：
?xi则 ?i?xi?xi?1?e?e,i?1,2,?,n， 取?i是区间右端点，
ininini?1ni?xi?e,f(?i)?ln(?i)?lne?,
nennii?1in 作和，并取极限得： ?lnxdx?lim?f(?i)?xi?lim?(e?en)
1n??n??i?0i?1ni1i?1nini?1i?1 ?lim{?e?[?(en?en)]}
n??nni?1ni?1n1111i?1(1?e)?e?(1?e)lim() ?e?lim?en?e?lim11n??n??n??nni?1n1?en(1?en)x0x?0g(x) 记g(x)?，则当时，是型的，由洛必达法则，
1?ex0n 有 limx1?lim??1
x?01?exx?0?ex 从而，当n???时，有
1n???nlim11?e1n??1，故
?e1lnxdx?e?(1?e)?1.
★3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：
(1)
?2xdx?1.
01知识点：定积分的几何意义
思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积
1?2?1?等式右边. 解:等式左边为直线y?2x与x轴和x?1三条直线所围成的面积，该面积等于? (2)
12??sinxdx?0
??解: 等式左边为正弦曲线y?sinx与x轴在x??及x???之间所围成的面积，其左右两边面积互
为相反数. 则
??sinxdx?(?A)?A?0?等式右边
??★★4. 用定积分的几何意义求
?ba(x?a)(b?x)dx(b?0)的值.
知识点：定积分的几何意义
思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积 解:因为(x?a)(b?x)?(a?bb?ab?a2a?b2为圆心，为半径的上半圆，)?(x?) 是以2222
12?b?a2?(b?a)2()?其面积为：S??r?2228 由定积分的几何意义知：
?ba(x?a)(b?x)dx??(b?a)28.
1p?2p???np(p?0)表示成定积分. ★★★5.试将和式的极限limn??np?1知识点：定积分的定义
思路：根据定积分的定义推导过程可知,求和的极限公式可表示为定积分
1p?2p???np11p2pnp1nip?lim[()?()???()]?lim?() 解: limn??n??nn??nnp?1nnni?1n设
f(x)?xp，则用定义求解
?10f(x)dx为：
①、等分[0,1]为n个小区间：[i?1i1,], i?1,2,?n, ?xi? nnnnni?1iii1,]上的右端点为?i，即?i?，作和：?f(?i)?xi??? ②、求和：取区间[nnnni?1i?1nip11nip③、求极限：lim?f(?i)?xi?lim?()??lim?()
??0n??nn??ni?1ni?1i?1n11p?2p???np1nipp ∴lim?lim()?xdx ?p?1?0n??n??nni?1nnn★★★6.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下：
xm宽 ym深 0 2 20 5 40 9 60 11 80 19 100 17 120 21 140 15 160 11 180 6 200 3 试用梯形公式求此河横截面面积的近似值.
知识点：定积分的几何意义
思路：由定积分定义知：求定积分（曲边梯形面积）的第二步：
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，即
f(?i)?xi??xixi?1f(x)dx，
若用小梯形面积近似代替小曲边梯形面积则为：
xi1[f(xi?1)?f(xi)]?xi??f(x)dx。
xi?12解:积分区间?a,b???0,200?,并对该区间作10等分，则区间分点xi(i?1,2,?,n)及其对应的函数值
1b?a yi恰如表中所示，第i段的梯形横截面面积：(yi?1?yi)?2nb?a1[(y0?y10)?y1?y2???y9]?2330m ∴ 此河横截面面积A?n2习题5-2
★1.证明定积分性质:
(1)
?bakf(x)dx?k?f(x)dx.(k是常数)
ab知识点：定积分性质
思路：利用定义推导定积分的性质
证明：设f(x)在?a,b?上可积，对任意的分法与取法，记
?b?max{?xi} (i?1,2,?,n)
f(x)dx?klim?f(?i)?xi?lim?kf(?i)?xi??kf(x)dx
??0i?1nnb ?kb?a??0i?1a(2)
?a1?dx??dx=b?a.
ab知识点：定积分的定义
证明：因为
f(x)?1,于是对任意的分法，有
n
?badx?lim?1??xi?lim(b?a)?b?a.
??0i?1??0★2.估计下列各积分的值:
(1)
?41(x2?1)dx
知识点：定积分性质
思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围 解：因为x及x?1在区间[1,4]上单调递增，故 2?x2?1?17,x?[1,4]，
而区间长度b?a 即6?(2)
22?4?1?3， 所以2?3?6??(x2?1)dx?17?3?51.
14?41(x2?1)dx?51
?10exdx
2知识点：定积分性质
思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围 解：记f(x)?ex，先求出f(x)在?0,1?上的最值，
2由于
f?(x)?ex?2x?2xex?0,x??0,1?, 所以f(x)在?0,1?上单调增加，
22因此 minx??0,1?f(x)?f(0)?e0?1,maxf(x)?f(1)?e1?e，即1?f(x)?e，
x??0,1?再由定积分的性质，得： 1??101dx??exdx??edx?e
00121(3)
?313xarctanxdx
知识点：定积分性质
思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围 解：记f(x)?xarctanx,x?[13,3]，
因为
f?(x)?arctanx?x1,3), 所以f(x)在?1,3?单调增加 ?0,x?(??331?x2?? ?m?minf(x)?f(113?)?arctan?,
363333?, 3 M?minf(x)?f(3)?3arctan3?