习 题
2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？ 2.2 一副充分洗乱了的牌(含52张牌)，试问 (1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？
(2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？
2.3 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？
?X??x1?1x2?2x3?3x4?4?2.4 设离散无忆信源??，其发出的消息为???3/8??PX1/41/41/8????(2021201 30213001203210110321010021032011223210)，求
(1) 此消息的自信息量是多少？
(2) 在此消息中平均每个符号携带的信息量是多少？
2.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7% ，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含有多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？
x2x3x4x5x6??X??x1?2.6 设信源??，求这信源的熵，并解释为???P?X???0.20.190.180.170.160.17?什么H?X??log6不满足信源熵的极值性。
2.7 同时掷两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息量； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息量；
(3) 两个点数的各种组合(无序对)的熵或平均信息量； (4) 两个点数之和(即2,3?12构成的子集)的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
2.8 证明H?X1X2?Xn?≤H?X1??H?X2????H?Xn?
2.9 证明H?X3/X1X2?≤H?X3/X1?，并说明等式成立的条件。
2.10 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下：
若把这些频度看做概率测度，求：
(1) 忙闲的无条件熵；
(2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。 2.11 有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为
Y X 0 1 0 1 1/8 3/8 3/8 1/8 并定义另一随机变量Z?XY(一般乘积)。试计算： (1) H(X),H(Y),H(Z),H(XZ),H(YZ)和H(XYZ)；
(2) H(X/Y),H(Y/X),H(X/Z),H(Z/X),H(Y/Z),H(Z/Y),H(X/YZ), H?Y/XZ?和H?Z/XY?；
(3) I?X;Y?,I?X;Z?,I?Y;Z?,I?X;Y/Z?,I?Y;Z/X?和I?X;Z/Y?。
2.12 有两个离散随机变量X和Y，其和为Z?X?Y(一般加法)，若X和Y相互独立，求证：H?X?≤H?Z?,H?Y?≤H?Z?。
2.13 设有一个信源，它产生0,1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P?0??0.4,P?1??0.6的概率发出符号。
(1) 试问这个信源是否是平稳的？
2(2) 试计算HX,H?X3/X1X2?及limH?X?；
2.14 设X?X1,X2,?,XN是平稳离散有记忆信源，试证明：H?X1X2?XN?? H(X1)?H?X2/X1??H?X3/X2X1????H?XN/X1X2?XN?1?。
2.15 某一无记忆信源的符号集为{0,1},已知P?0??1/4,P?1??3/4。
(1) 求符号的平均熵；
1”(2) 有100个符号构成的序列,求某一特定序列(例如有m个“0”和?100?m?个“ )的自信息量的表达式；
(3) 计算(2)中序列的熵。
2.16 一阶马尔可夫信源的状态图如题2.10图所示。信源X的符号集为{0,1,2}。
(1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H?。
??(3) 试计算H?X?并写出X4N??4信源中可能有的所有符号。
题2.10图
2.17 黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X?{黑，白}。设黑色出现的概率为P(黑)=0.3，白色的出现概率P(白)=0.7。
(1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H?X?；
(2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为P(白/白)=0.9，P(黑/白)=0.1，P(白/黑)=0.2，P(黑/黑)=0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵H2(X)；
(3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较H?X?和H2(X)的大小，并说明其物理意义。
2.18 每帧电视图像可以认为是由3?105个像素组成的，所有像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概率出现，问每帧图像含有多少信息量？若有一个广播员，在约10000个汉字中选1000个汉字来口述这电视图像，试问若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？
12.19 给定语声样值X的概率密度为p?x???e??/x,???x??，求HC?X?，并证明
2它小于同样方差的正态变量的连续熵。
?12?2x2≤?yr2 2.20 连续变量X和Y的联合概率密度为：p?x,y????r，求?其他?0?log2sinxdx??log22) 022.21 设X?X1X2?XN是N维高斯分布的连续信源，且X1,X2,?,XN的方差分别为22?12,?2,?,?N,它们之间的相关系数?(XiXj)?0?i,j?1,2,?,N,i?j?。试证明：N维高斯H?x?,H?Y?,H?XY?和I?X:Y?。(提示：
??21分布的连续信源的熵Hc?X??Hc?X1X2?XN??2?log2?e?2i?1N2i
?bx20≤x≤a
2.22 设有一连续随机变量，其概率密度函数为p?x???
0其他?(1) 试求信源X的熵Hc?X?；
(2) 试求Y?X?A?A?0?的熵Hc?Y?；
(3) 试求Y?2X的熵Hc?Y?。