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2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）
数学（文史类）全解全析
第I卷 （选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},则A?（CUB）等于 A.{2} B.{5} C.{3,4} 解析：（CUB）={3，4，5}，A?（CUB）={3，4}，选C (2)等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 A.4 B.8
2
解析：a2·a6= a4=16，选C
C.16
D.{2,3,4,5}
D.32
(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于 A.0
B.
12
2
C.
32
2
D.1
解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin15°+cos15°=1，选D （4）“|x|<2”是“x-x-6<0”的 A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由|x|<2得-2 ?3?4?32 )的图象 12，0）对称 ，0）对称 ?3 k?? ?6 B.关于直线x=D.关于直线x= 12k???4?3对称 对称 解析：由2x+（ ?3=kπ得x=，对称点为（ ?6，0）（k?z），当k=1时为 ，0），选A （6）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于 A.45° B.60° C.90° D.120° 中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料 解析：连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于.60°，选B （7）已知f(x)为R上的减函数，则满足f()?f(1)的实数x的取值范围是 x1A.（-?，1） B.（1，+?） D.（-?，0）?（1，+??） C.（-?，0）?（0，1） 解析：由已知得 1x?1解得x?0或x>1，选D （8）对于向量a、b、c和实数?，下列命题中真命题是 A.若a·b＝0，则a=0或b=0 C.若a2=b2,则a=b或a=-b B.若?a=0,则?＝0或a=0 D.若a-b=a·c，则b=c 解析： a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B (9)已知m,n为两条不同的直线，?、?为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.m??,n??,m∥?，n∥?? ?∥? B.?∥?，m??,n??，?m∥n C.m⊥?，m⊥n?n∥? D.n∥m,n⊥??m⊥? 解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在?内，不正确，选D (10)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是 A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0 C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y2+4x+5=0 解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆方程为(x?2)?y?1，即x2+y2-4x+3=0，选B 22(11)已知对任意实数x,有f（-x）=-f (x)，g(-x)=g(x),且x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,则x<0时 A.f’(x)>0,g’(x)>0 B.f ’(x)>0,g’(x)<0 C.f ’(x)<0,g’(x)<0 D.f ’ (x)<0,g’(x)<0 解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,当x<0时, f(x) 递增, f ’(x)>0; g(x)递减, g’(x)<0,选B (12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7” 的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为 A.2000 B.4096 C.5904 D.8320 4 解析：10000个号码中不含4、7的有8=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料 2 （13）（x+ 1x）的展开式中常数项是 .（用数字作答） 1x6 解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个x2，4个 法二：展开后可得常数项为15 ，故常数项为C62?15 ?x?y?2,?（14）已知实数x、y满足?x?y?2,则z=2x-y的取值范围是 . ??0?y?3,解析：画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7] （15）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。 解析：由已知C=2， b2a?3?b2?3a?a?4?3a?a?4,e?2ca?24?12 （16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a∈A,都有a-a; (2)对称性：对于a,b∈A，若a-b,则有b-a; (3)传递性：对于a,b,c∈A,若a-b,b-c,则有a-c. 则称“-”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系： . 解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 在△ABC中，tanA=(I)求角C的大小; (II)若AB边的长为17，求BC边的长 本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分12分. 13?45＝?1，解：（I）∵C＝?-(A+B),∴tanC=-tan(A+B)= 131?·45又∵0 3414,tanB= 35. ? sinA1?tanA??,??17?cosA4. (II)由?且A∈（0，），得sinA= 22217?sin?cosA?1,??中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料 ∵ ABsinC?BCsinA,∴BC＝AB· sinAsinC?2. （18）（本小题满分12分） 甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求： （I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率; (II)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (III)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力. 解：记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1. 依题意得P（A1）＝0.7，P（B1）＝0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互独立. (I)“甲第三次试跳才成功”为事件A1A2A3，且三次试跳相互独立， ∴P（A1A2A3）＝P（A1）P(A2)P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063. 答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063. (II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C， 解法一：C＝A1B1?A1B1?A1B1，且A1B1、A1B1、A1B1彼此互斥， ∴P（C）＝P（A1·B1）?P（A1·B1）?P（A1·B1） ＝P（A1）P（B1）?P（A1）P（B1）?P（A1）P（B1） ＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6 = 0.88. 解法二：P（C）＝1-P（A1）·P（B1）＝1-0.3×0.4=0.88. 答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88. （III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0,1,2）, “乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0,1,2), ∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1为互斥事件. ∴所求的概率为 P（M1N0?M2N1）＝P（M1N0）?P（M2N1） ＝P（M1）P（N0）?P(M2)P(N1) ＝C2×0.7×0.3×0.4+0.7×C2×0.6×0.4 =0.0672+0.2352 =0.3024. 答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024. 中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 版权所有@中学学科网 122 1 中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料 （19）（本小题满分12分） 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点. (I)求证：AB1⊥平面A1BD; (II)求二面角A-A1D-B的大小. 本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 解法一：（I）取BC中点O，连结AO. ∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC. ∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1, ∴AO⊥平面BCC1B1, 连结B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点， ∴B1O⊥BD, ∴AB1⊥BD. 在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B， ∴AB1⊥平面A1BD. (II)设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD， ∴∠AFG为二面A-A1B-B的平面角. 在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝又∵AG＝ 12AB1= 455， 2, 2455104∴sin∠AFG= AGAF??, 所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin 104. 解法二：（I）取BC中点O，连结AO. ∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC. ∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， ∴AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1中点O1，以a为原点，OB，OO1，OA的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1,0,0）,D (-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0), ∴AB1＝(1,2,?3),BD?(?2,1,0),BA1?(?1,2,3) 中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 版权所有@中学学科网