第二章 地图的数学基础
【教学目的】
通过本章教学，使学生理解并掌握地图投影的概念、投影变形及分析方法，主要投影类型、构成、变形分布及其应用，地图投影选择等。为学生正确地阅读和使用地图投影奠定扎实的理论基础。
【重点难点】
教学重点：地图投影的概念、主要投影类型、变形分析及其应用，地图投影的选择等。教学难点：地图投影的概念、投影变形分析等。
第一节 地球椭球体
一、地球的自然表面
地球的自然表面十分不规则。地球表面约有71％的面积为海洋，29%的面积是大陆与岛屿。陆地上最高点珠穆朗玛峰海拔高度为8844.43米，海洋中最深处在马里亚纳海沟为-11034米，两者相差近20公里。地球的自然表面无法用数学公式表达，在量测与制图时，必须找一个规则的曲面来替代它。
二、地球的物理表面
当海洋静止时，它的自由水面必定与该面上各点的重力方向（铅垂线方向）成正交，我们把这个面叫做水准面。水准面有无数多个，但其中必然存在一个静止的、平均的海水面。设想这个静止的平均海水面穿过大陆和岛屿形成一个闭合的曲面，这就是大地水准面（图2-1）。大地水准面所包围的形体，叫大地球体。由于地球体内部质量分布的不均匀，引起重力方向的变化，导致处处和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规则的、仍然是不能用数学表达的曲面。
三、地球的数学表面
大地水准面形状虽然十分复杂，但从整体来看，起伏是微小的。它是一个很接近于绕自转轴（短轴）旋转的椭球体。所以在测量和制图中就用旋转椭球来代替大地球体，这个旋转球体通常称地球椭球体，简称椭球体。
地球椭球体表面是一个规则的数学表面，它是测量与制图的基础。其大小、形状取决于长半轴，即赤道半径（a）、短半轴，即极半径（b）、扁率（f）。a、 b、 f也称为地球椭球体的元素值。其中：
f?a?ba1
由于推求年代、所用的方法以及测定的地区不同，地球椭球体的元素值有很多种。现将几个常用的地球椭球体元素值列于表2-1中。
表2-1 椭球体名称及元素值表
我国在1952年以前采用海福特（Hayford）椭球体，从1953年到1980年采用克拉索夫斯基椭球体。1975年第16届国际大地测量及地球物理联合会（International Unionof Geodesy and Geophysics缩写为IUGG）上通过的国际大地测量协会第一号决议中公布的地球椭球体，称为GRS（1975），我国自1980年开始采用GRS（1975）新参考椭球体系。
第二节 地球坐标与大地定位
确定地面的点位，就是求出地面点对大地水准面的关系，它包括确定地面点在大地水准面上的位置和地面点相对于大地水准面的高度。
一、地球表面上的地理坐标
地面上任一点在大地水准面上的位置是用地理坐标（经度、纬度）来表示的。
地理坐标系是以地理极（北极、南极）为极点。地理极是地轴（地球椭球体的旋转轴）与椭球面的交点，如图2-2，N为北极，S为南极。所有含有地轴的平面，均称为子午面。子午面与地球椭球体面的交线，称为子午线或经
图2-2 地理坐标
线。所有垂直于地轴的平面与椭球面的交线，称为纬线。纬线是不同半径的圆。其中半径最大的纬线，是通过地轴中心垂直于地轴的平面所截的大圆，称为赤道。
设椭球面上有一点A（图2-2），通过A点作椭球面的垂线，称之为过A点的法线。法线与赤道面的交角，叫做A点的纬度，通常以字母?表示。纬度从赤道起算，在赤道上纬度为0o。纬线离赤道愈远，纬度愈大，至极点纬度为90o。赤道以北的叫北纬，赤道以南的叫南纬。过A点的子午面与通过英国格林尼治天文台的子午面所夹的二面角，叫做A点的经度，通常以字母?表示。国际规定通过英国格林尼治天文台的子午线为本初子午线（或叫首子午线），作为计算经度的起点。该线的经度为0o。向东0o～180o叫东经，向西0o～180o叫西经。
根据地理坐标系，地面上任一点的位置可由该点的纬度和经度来确定。例如北京在地球上的位置可由北纬39o56′和东经116o24′来确定。
二、平面上的坐标
平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示（图2-3）。设O为极坐标的原点，OX为极轴，则A点的位置可表示为A（ρ，δ），这里，ρ为动径，δ为动径角。如果以极轴为X轴，垂直于极轴的轴为Y轴，
δ
2
则A点的位置亦可用直角坐标表示，即A（x，y）。极坐标与直角坐标的关系可表示为：
x=?cos? y=?sin?
这里需要指出的是，在测量和制图中所规定的X轴和Y轴的方向与数学中的规定相反。动径角（δ）是极轴（OX）与动径（OA）所夹的角，它是按顺时针方向计算的，这也与数学中所规定的不同。
三、高程
地面点到大地水准面的垂直距离，称为绝对高程。地面点到任一水准面的高程，称为相对高程。如图2-4所示，P0P0为大地水准面，地面点A和B到P0P0的垂直距离为A、B两点的绝对高程。A、B两点至任一水准面P1P1的垂直距离为A、B两点的相对高程。A、B两点的高程差，叫高差（h）。高差有正、负之分。A点高于B点，A点对B点的高差为正，反之为负。
四、大地控制网
在广袤的区域进行测图工作，需要分单元分期分批进行。为了保证测量的精度符合统一要求，且各测图单元又能相互衔接，需要在全国范围内建立统一的大地控制网，控制网分平面控制网和高程控制网。
平面控制网通常采用三角测量或导线测量完成。
三角测量方法的实质是在地面上建立一系列相连接的三角形（组成三角锁和三角网，图2-5），量取一段精确的距离作为起算边，在这个边的两端点，采用天文观测方法确定其点位（经度、纬度和方位角），用精密测角仪器测定各三角形的角值，根据起算边的边长和点位，就可推算出其他各点的坐标。三角测量为了达到层层控制的目的，由国家测绘主管部门
图2-5 三角锁与三角网
统一设置一、二、三、四等三角网。导线测量是将控制点连接成连续的折线（图2-5），然后测定这些折线的边长和转角，再推算各点的坐标。
1954年我国在北京设立了大地坐标原点，并由此计算出各大地控制点的坐标，总称为“1954年北京坐标系”。1985年我国宣布启用新的国家大地坐标原点---“1980年国家大地坐标原点”。该坐标原点位于西安市附近的泾阳县境内，并采用1975年国际大地测量协会推荐的大地参考椭球体，因为其位置居全国中部，因此它可有效地减少测绘过程中由坐标传递所带来的累积误差。
3
高程控制网测量方法主要是水准测量、有时也用三角高程测量等（图2-6）。水准测量是借助水平视线来测定两点间的高差。连续的水准测量即可组成作为全国高程控制的水准网。根据测量精度的不同，水准测量分为四等，作为全国测图及工程建设的基本高程控制。
统一的高程起算面是全国高程网建立的基础。新中国成立后，以青岛验潮站1950—1956年验潮资料求得“黄海平均海水面”，并规定以此作为全国高程零点的起算面。同时，在青岛市观象山设立了国家永久性的水准原点，经测量该原点高程为72.289m。以该水准面建立起来的全国高程控制系统，称为“1956年黄海高程系”。1987年国家测绘局公布启用新的高程基准面---“1985国家高程基准”，以取代“1956黄海高程系”。该高程基准是以青岛验潮站1952-1979所测定的黄海平均海水面资料为基础计算获得，较原“黄海平均海水面”上升29mm，新的国家水准原点高程为72.260m。
第三节 地图投影的概述
一、地图投影的基本问题
1地图投影的概念
地球椭球体表面是曲面，地图是平面（通常绘制在平面图纸上）。曲面是一个不可展的面，不可能用物理的方法将其展成平面，因为那样会使曲面产生褶皱、拉伸或断裂等无规律的变形，进而影响到地图表达的科学性。地图制图中采用的方法是地图投影。所谓地图投影，即利用数学方法建立地球球面上的点与地图平面上相对应点间数学函数关系的过程，其实质是将球面上点的坐标，按照一定的数学法则表达到地图平面上。
设球面上某点的地理坐标为（?、?），地图上相对应点的平面直角坐标（x、y）或极坐标（ρ、δ），则地图投影可表述为下列函数
因为球面上任一点的位置决定于它的经纬度，所以实际投影时是先将一些经纬线交点展绘在平面上，再将相同经度的点连成经线，相同纬度的点连成纬线，构成经纬线网。有了经纬线网以后，就可以将球面上的点，按其经纬度画在平面上相应位置处。
2地图投影变形
1）投影变形的概念
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地图投影的方法很多。用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。图2-7是几种不同投影的经纬线网形状。从图上可以看出，用地图投影的方法将球面展为平面，虽然可以保持图形的完整和连续，但它们与球面上的经纬线网形状并不完全相似。这表明投影之后，地
图上的经纬线网发生了变形，根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物，也必然随之发生变形。这种变形使地面事物的几何特性受到破坏。
地图投影的变形表现在三个方面，即长度变形、面积变形和角度变形。
在图2-7（a）上，各条纬线长度均相等，而实际中纬线长度从赤道向两极是递减的。在图2-7（b）、（c）上，各条经线长度不等，而实际中所有经线均相等。这说明同一地图上各地点的缩小比例并非一样，表明地图上具有长度变形。不同投影变形情况不一样，同一投影上，长度变形不仅随地点而改变，在同一点上还因方向不同而不同。
图上的面积也会因长度变形而发生改变，从图2-7（a）上，可直观地看到图上所有经纬网格面积均相等，在图2-7（c）中，同一经度带内各经纬网格面积又不相等，这些显然与实际情况是不一致的。表明图中有面积变形。不同的投影面积变形情况不一样，同一投影上，面积变形因地点的不同而不同。
角度变形是指地图上两条线所夹的角度不等于球面上相应的角度。图2-7（b）上，只有中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬线均不呈直角相交，表明地图上发生了角度变形。角度变形的情况因投影而异，同一投影图上，角度变形因地点而变。
2）变形椭圆
地图投影的变形，随地点的改变而改变，因此在一幅地图上，就很难笼统地说它有什么变形，变形有多大。为了定量地分析和研究投影变形，法国数学家底索（Tissot）在1881年提出了变形椭圆理论，他通过实验和数学推导表明，球面上的微小圆投影后将变成椭圆（特殊情况下为圆），并据此说明地图投影变形的性质和大小，这种椭圆被也称为变形椭圆（图2-8）。
3）长度比和长度变形
图2-8变形椭圆
长度比就是投影面上一微小线段和球面上相对应微小线段之比。设ds′为投影在平面上的微小线段，ds表示球面上微小线段，μ表示长度比，则
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