固体物理练习题
其中带 * 的为附加题
第1讲 晶体结构
1.1 画出下列晶体结构的原胞，说明他们的Bravais格子，并标出原胞中原子的坐标。 （1）面心立方金属、氯化钠、金刚石； （2）体心立方金属、氯化铯。 1.2 利用钢球密堆模型，求致密度：
（1）简单立方；（2）体心立方；（3）六方密堆；（4）金刚石结构。
1.3 证明对于六角密堆积结构，理想的c/a比为（8/3） ≈ 1.633。又：金属Na在273 K因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a = 0.423 nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。 1.4 画出正四面体的所有基本对称操作。
1.5 写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积
1.6 金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析方法证明这一夹角为109o28'。
1.7 画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。 1.8 指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）面的交线的晶向。 1.9 如将布拉维格子的格点位置在直角系中用一组数（n1，n2，n3）表示，证明 （1）对于体心立方格子，ni全部为偶数或奇数； （2）对于面心立方格子，ni的和为偶数。
1/2
1.10 证明体心立方和面心立方格子互为正、倒格子。 1.11 对于密堆六方结构，原胞基矢为
a1?a2i?a232aj32aj
a2??i?a3?ck试求倒格子基矢，并画出第一Brillouin区。 1.12 考虑晶格中的一个晶面hkl
（1）证明倒格矢G?hb1?kb2?lb3垂直于这个晶面；
（2）证明晶格中另个相邻平行晶面的间距为d(hkl)?2?/G，对于简单立方晶格有
d(hkl)?a/(h?k?l)。
2222231.13 证明第一Brillouin的体积为(2?)/Vc，其中Vc是晶体原胞的体积。
1.14 * 试求面心立方结构，体心立方结构的结构因子，并讨论衍射的相消条件。
1.15 * 双原子线，设有A-B键长为a/2，ABAB排列……AB，原子A、B的散射因子分别为fA，fB，X射线束垂直作用于原子线。
（1）证明干涉条件为nλ = acosθ，其中θ为衍射束与原子线之间的交角。
（2）倒格矢G = hb，h为整数，证明h为奇数时衍射束的强度正比于│fA ? fB│，h为偶数
时正比于│fA + fB│2。
2
第2讲 固体结合
2.1 试计算正负离子相间排列的二维正方晶格的马德隆常数。（1.685）
2.2 假如离子晶体NaCl的离子电荷加倍，讨论对晶格常数、结合能以及体弹性模量的影响，假定排斥势保持不变。
2.3 挤压KCl晶体，多大的压强可使它的晶格常数减小1 %？KCl晶体的晶格常数为R0=0.314 nm，马德隆常数α = 1.75，n=9。
2.4 固态分子氢。对于H2，由气相测量获得的Lennard-Jones参数为ε = 50?10 erg，σ = 0.296 nm，试计算H2 晶体具有面心立方结构时的内聚能，要求结果以kJ/mol为单位给出。把每个H2 分子作为球体处理。内聚能的观测值为0.751 kJ/mol，比计算值小很多，因此量子修正在这里一定是很重要的。
2.5 用Lennard-Jones势计算Ne在体心立方和面心立方结构中的结合能之比。
2.6 由实验测得NaCl晶体的密度为2.16 g/cm ，它的弹性模量为2.41?10N/m。试求NaCl晶体的每对离子内聚能Uc/N。（已知马德隆常数M=1.7476，Na和Cl的原子量分别为23及35.45）
2.7 由气体分子的实验测得惰性气体Xe的伦纳德-琼斯势参数ε=0.02 eV, σ =0.398 nm。 在低温下Xe元素形成面心立方的晶体。试求Xe晶体的晶格常数a，每个原子的内聚能Uc/N及体积弹性模量Bm。若对晶体施加压力P=6?105 N/m2。试在近似假定体积弹性模量不变的情况下，计算这时晶体的晶格常数a将变成为多少?并求这时的内聚能Uc/N将改变成多少？ 2.8 * 原子轨道波函数2s、2px、2py、2pz相互正交、归一，请证明由sp3杂化后的未配对电
???1????2?子轨道
??3????4?121212123
10
-16
????(?2s??2px??2py??2pz)(?2s??2px??2py??2pz)(?2s??2px??2py??2pz)(?2s??2px??2py??2pz)也相互正交、归一：
??*i?jd???ij(i,j?1,2,3,4)，如果已知在球面极坐标中，轨道波函数2s、2px、2py、2pz
1???R(r)?2?2s2???13??R(r)?sin?cos??2px22??可写成：?请求出杂化轨道ψ1、ψ2、ψ3、ψ4在球面坐标
13???R(r)?sin?sin?2?2py2??13???R(r)?cos?2?2pz2??中的表达式。并由此求出杂化轨道具有最大值的方向。
第3讲 晶格振动和晶体的热学性质
du3.1 证明长波下单原子链运动方程m2??(un?1?un?1?2un)可以化为连续介质弹性波动
dt?u?t2222方程：?v?u?x22。
3.2 考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交替的等于c和10c， 令原子量相同，且最近邻距为a/2，试求在q=0和q=π/a处的ω(q)，并大略地画出色散关系。本题模拟如H2这样的双原子分子晶体。
3.3 考虑一个全同原子组成的平面方格子，用ul,m记第l列，第m行的原子垂直于格平面的位移，每个原子质量为M，最近邻原子的力常数为?。
dum,ldt22（1）证明运动方程为M????(ul?1,m?ul?1,m?2ul,m)?(ul,m?1?ul,m?1?2ul,m)??。
?（2）设解的形式为：ul,m?u(0)exp??i(lqxa?mqya??t)?，这里a是最近邻原子的间距，
证明运动方程是可以满足的，如果?M?2??2?cosqxa?cosqya?，这就是问题的色
2散关系。
（3）证明独立解存在的q空间区域是一个边长为2π/a的正方形，这是平面方格子的第一布
里渊区。画出q?qx，而qy?0时，和qx?qy时的ω(q)图。
（4）对于qa?1，证明：????a?M?21/2(qx?qy)221/2?(?a/M)?1/2q。
（5）在第一布里渊区中画出一些等ω线，其中包括通过点(qx??/a,qy?0)的。并请标
出ω的极大点、极小点和鞍点。
3.4 在一维双原子晶格振动的情况中，证明在布里渊区边界q=±π/2a处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止，画出这时原子振动的图像。 3.5 从一维双原子晶格色散关系出发，当m逐渐接近M和m=M时，在第一布里渊区中，晶格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。 3.6 设晶体中每个振子的零点振动能是(?ω)/2，试用德拜模型求晶体的零点振动能。 3.7 设三维晶格的光学振动在q = 0附近的长波极限有?(q)??0?Aq2，证明：频率分布函
?V?数f(?)??4??0?12A3/2(?0??)1/2???0???0。
3.8 应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。 3.9 证明简谐振动对热膨胀没有贡献。所以研究热膨胀需要考虑非谐效应。
3.10 具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2?，由于晶格有非线性相互作用，一个沿[100]方向传播，波矢为q[100]=1.3×1010m-1的声子同另一个波矢大小相等但沿[110]的方向传播的声子相互作用，合并成第三个声子。试求合成后的声子的波矢。
第4讲 能带理论
4.1 电子在周期场中的势能函数
?1222? when na?b?x?na?b;b?(x?na)?m????V(x)??2，其中a?4b，?为
?0 when (n?1)a?b?x?na?b;?常数，
（1）画出此势能曲线，并求其平均值；