2016 年竞赛与自主招生专题第十二讲立体几何
从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，立体几何是高中数学中具有联结和支撑作用的主干知识，它既是中学数学的重要内容，又是学习高等数学的必要基础，因而是高考数学与高校自主招生命题的主要板块之一。立体几何问题大致可以分为两大类：一是空间几何的结构特征、简单几何体的表面积和体积的计算方法，如旋转体的体积和表面积，割补定理等；二是从构成空间几何体的基本元素——点、线、面人手研究它们的性质以及相互之间的位置关系等，如线、面之间的垂直于平行的位置判断与证明等。
一、知识精讲
一．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；
（3）转化为该线与另一线的射影垂直； （4）转化为该线与形成射影的斜线垂直.
二．证明直线与平面垂直的思考途径：
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
rr三．空间的线线平行或垂直：设a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则：
?x1??x2rrrrrr1.平行：aPb?a??b(b?0)???y1??y2；
?z??z2?1rrrr2.垂直：a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.
四．夹角公式：
????设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则cos?a,b??a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223. 23b?b?b21222222推论 (a1b1?a2b2?a3b3)2?(a12?a2?a3)(b12?b2?b3)，此即三维柯西不等式.
五．异面直线所成角：
rrrr|a?b|cos??|cos?a,b?|=rr?|a|?|b|oo|x1x2?y1y2?z1z2|x?y?z?x2?y2?z2212121222
rr
b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）（其中?（0???90）为异面直线a, ??????AB?m?????(m为平面?的法向量). 六．直线AB与平面所成角：??arcsin???|AB||m|?????????m?nm?n七．二面角??l??的平面角：??arccos???或??arccos???（m，n为平面?，?的法|m||n||m||n|向量）
八．空间两点间的距离公式 ：
????????????若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2. 九．点B到平面?的距离 ：
???????|AB?n|??（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，A??）. d?|n|十．柱体、锥体的体积：
1.柱体：V柱体?Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）
12.椎体：V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）
3十一．长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为
2222222?1、?2、?3,则有l?l1?l2?l3?cos?1?cos?2?cos?3?1?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.
十二．球的表面积和体积公式：
1.球的表面积公式：S球?4?R2（R为球的半径）
42.球的体积公式：V球??R3（R为球的半径）
3
一．空间余弦定理
如图，平面M、N相交于直线l。A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线DC在平面N
内。已知
?BDC??,?BDA??,?CDA??，且?、?、?都是锐角，?是二面
角M?l?N的平面角，则
cos??cos??cos?cos?。
sin?sin?
?证明：在平面M中，过A作DA的垂线，交射线DB于B点。
在平面N中，过A作DA的垂线，交射线DC于C点。 设DA?1，则AB?tan?,DB?1,AC?tan?， cos?DC?1，并且?BAC??就是二面角M?l?N的平面角。 cos?在?DBC与?ABC中，利用余弦定理，可得等式 BC2?112??cos??tan2??tan2??2tan?tan?cos?， 22cos?cos?cos?cos?112??cos? cos2?cos2?cos?cos?所以，2tan?tan?cos??tan2??tan2?? ?2(cos??cos?cos?)
cos?cos?故 cos??二．射影面积公式：
cos??cos?cos?
sin?sin?在二面角的一个半平面上的任意凸多边形的面积为S，此多边形的另一个半平面上射影多边形的面积为S'，又二面角的平面角度数为?，则S'?S?cos?。
三．欧拉公式：
?欧拉公式：设F、E和V分别表示凸多边形体面、棱（或边）、顶点的个数，则F?E?V?2。
利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种：正四面体、正六面体（正方体）、正八
面体、正十二面体、正二十面体。
事实上，设正多面体每个面是n边形，每个顶点引出m条棱，则棱数E应是F（面数）与n的积的一半，即nF?2E。①
同时，E应是V（顶点数）与m的积的一半，即mV?2E。②
2E2E2E2E1111,V??E??2????。 ，代入欧拉公式中，有nmnmmn2E1111由于?0,故??。
Emn2由①、②，F?显然，m,n不可能同时大于3.由m和n的意义知m?3,n?3，故m,n中至少有一个等于3.
当m?3时，易得n?3,4,5；同理，n?3时，m?3,4,5。
综上，n?m?3时，即正四面体；当n?4,m?3时，即正六面体；n?3,m?4时，即正八面体；n?5,m?3时，即正十二面体；n?3,m?5时，即正二十面体。
四．祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
三、典例精讲
例1．（2011“华约”）两条异面直线互成600，过空间中任一点A可以作出（ ）平面与两异面直线都成450角。
（A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
?答案 B
?分析与解答：如图，将异面直线平移到A点，记此时两条直线为a,b，a,b成600，a,b所确定的平面为?，令l',l分别为a,b的两条角平分线。则与a,b所成角相等的平面?必经过l或
l'。而过l'与a,b所成角的最大值为300。这种情况不合要求。过l的平面与a,b所成角的范
围为?0,600??，绕l适当转动平面?，并由对称性知，符合要求的平面有且仅有两个。
例2．（2011“卓越联盟”）在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且
。 A1F:FB1?1:3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为（ ）（A）151555 （B） （C） （D） 3535?答案B
?分析与解答：如图，取A1D1中点G，连结FG，则EF与BC1所成角即为?GEF。不妨设正
52?1??1?方体棱长为1，则GF?EF???????，EG?。
42?2??4?2252?315sin?GEF?1616??。
5554D1GA1DEABFB1CC1 例3．（2010复旦）设ABC?A'B'C'是正三棱柱，底面边长和高都是1，P是侧面ABB'A'的中心点，则P到侧面ACC'A'的对角线的距离是（ ）。
131432（A） （B） （C） （D） 2488?答案C
?分析与解答：在?A'BC中，过P作PH?A'C，垂足H。A'B?2,A'C?2,BC?1，则由余弦定理知cos?BA'C?37，从而sin?BA'C?，所以44PH?A'P?sin?BA'C?2714。 ??248BAPB'HA'[来源:学*科*网]CC'
例4．（2012“卓越联盟”）直角梯形ABCD中，?ABC?900，AB?AD?AP?1,BC?2，面
ABP垂直于底面ABCD。
（1）求证：面PAB垂直于面PBC；
[来源:Z.xx.k.Com]（2）若?PAB?1200，求二面角B?PD?C的正切值。 ?分析与解答：
（1）由于平面ABP?平面ABCD，且面ABP?平面ABCD=AB，而BC?AB?
BC?平面ABP，BC?平面BCP?平面ABP?平面BCP。
（2）由?PAB?1200，AP?AB?1?PB?3。由（1）知BC?平面ABP?BC?PB，且
BC?2?PC?7。
过P作PO?BA于BA延长线交于O，连结OD，则
PO?315,OA?,OD?,PD?PO2?OD2?2。易见CD?2,BD?2。 222设二面角B?PD?C的平面角大小为?，则由空间余弦定理（见知识拓展）知 cos?BDC?cos?PDB?cos?PDCcos??。
sin?PDB?sin?PDC(2)2?(2)2?(3)21显然cos?BDC?0,cos?PDB??，
42?2?2