高等数学（上）
第一章 函数与极限
1.
?6?设
?4??
4???|sinx|,|x|??3?(x)????0,|x|?3?, 求
????????????、???、????、?(2).
??1?()?sin?66 22??2?()?sin?44
2??2?(?)?sin(?)?4??2??04
22. 设f?x?的定义域为?0,1?，问：⑴f?x?； ⑵f?sinx?；
⑶f?x?a??a?0?； ⑷f?x?a??f?x?a? ?a?0?的定义域是什么？
（1）0?x?1知－1?x?1,所以f(x)的定义域为?－1，1?；
22(2)由0?sinx?1知2k??x?(2k?1)?(k?Z),?2k?,(2k?1)??所以f(sinx)的定义域为
?－a,1?a?所以f(x?a)的定义域为?0?x?a?1?－a?x?1?a(4)由?知?从而得0?x?a?1a?x?1?a??1?a,1?a?当0?a?时，定义域为21当a?时，定义域为?2(3)由0?x?a?1知－a?x?1?a
3. 设
?1?f?x???0??1?x?1x?1x?1，g?x??e，求f?g?x??和g?f?x??，
x并做出这两个函数的图形。
?1,g(x)?1?1,x?0??1.)f[g(x)]??0,g(x)?1从而得f[g(x)]??0,x?0???1,x?0?1,g(x)?1???e,x?1??f(x)2.)g[f(x)]?e??1,x?1??1??e,x?1
4. 设数列
limxnyn?0.n???xn?有界, 又
limyn?0,n?? 证明:
M???xn?有界，??M?0,对?n,有xn?M又?limyn?0,即???0,?N(自然数)，当n?N时，有yn?n??从而xnyn?0?xn.yn?M.?M?? ?结论成立。5. 根据函数的定义证明:
⑴
lim?3x?1??8x?3
????0,要使3x?1?8?3x?3??,只要x?3?即可。3故???0,取?＝，当0?x?3??时，恒有3x?1?8??成立3所以lim(3x?1)?8x?3?
(2)
x???limsinxx?0
1???0,要使sinxx?x??,只要x?sinxx?2即可。故取X?sinxx?01?2，
当x?X时，恒有?0??成立,所以limx?36. 根据定义证明: 当x?0时,函数y?1?x2x是无穷大.问x应满足什么条件时,才能使y?10?
4?M?0,要使故取?＝1?2x111?2???2?M,只要x?即可。xxxM?2，当0?x??时，有1?2x?M成立x?M?21?2x所以lim??x?0x
要使y?104,只要x?1即可。410?27. 求极限: ⑴
x2?3limx?3x2?1=0
⑵ ⑶
2?x?h??x2limh?0h=limh(2xh?h)?2x
h?0x2?xlim4x??x?3x2?1=0
=
n(n?1)1lim22?n??2n(4) (5) (6)
lim1?2????n?1?n??n2
3??1lim??3?x?11?x1?x??=
1?x?x2?3lim??1x?1(1?x)(1?x?x2)limx?2x3?2x2?x?2?2=?
8. 计算下列极限: ⑴ ⑵
limx2sinx?01x=0
.arctanx?0 =lim1xx??limarctanxx??x9. 计算下列极限: ⑴ ⑵ ⑶
limsin?xx?0xtan3xx?x.??? =limsin?xx?0limx?0=limsinx3x.cos13x?3
x?01?cos2xlimx?0xsinx3x=
2sin2xlim?2x?0x.sinxx?2?2?lim?(1?)?x?0x??
?e?62?(4)lim??1??= xx???6??
（5）lim?1?2x?=lim(1?2x)1xx?0x?01.22x?e2
?e?2（6）
?3?x?lim??x??1?x??x=
2lim(1?)x??1?x1?x.(?2)?12
10. 利用极限存在准则证明: ⑴
11?1?limn?2?2???2??1n??n?n???n??n?2?
n211?n2?1?2?n?2?2???2??2n?n?n??n?2?n?n???n??n2n2又lim2?1,lim2?1n??n?n?n??n??
的极限存在,
故原式＝1 ⑵ 数列2,并求其极限.
xn?2?xn?1,n?2,3,...解：10.先证单调。2?2,2?2?2,??x2?2?x1?2?2?2?x1,假设xk?xk?1,则xk?1?2?xk?2?xk?1?xk故?xn?单调递增。20.再证有界。x1?2?2,假设xk?1?2,则xk?2?xk?1?2?2?2故?xn?有界。所以limxn?,设limxn?a,由xn?2?xn?1知a?2?an??n??
所以a?2,a??1(舍去)?limxn?2n??