2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第11讲：三角函数
1、（2010一试2）已知函数y?(acos2x?3)sinx的最小值为?3，则实数a的取值范围是. 【答案】?3?a?12 2【解析】令sinx?t，则原函数化为g(t)?(?at2?a?3)t，即g(t)??at3?(a?3)t.
由?at3?(a?3)t??3，?at(t2?1)?3(t?1)?0，(t?1)(?at(t?1)?3)?0及t?1?0知
?at(t?1)?3?0即a(t2?t)??3. （1）
当t?0,?1时（1）总成立；
对0?t?1,0?t2?t?2；对?1?t?0,?14?t2?t?0.从而可知?32?a?12.
2、（2011一试4）如果cos5??sin5??7(sin3??cos3?)，??[0,2?)，那么?的取值范围是． 【答案】???5???4,4??
3、（2012一试7）满足14?sin?n?13的所有正整数n的和是． 【答案】33
【解析】由正弦函数的凸性,有当x?(0,?6)时,
3?x?sinx?x,由此得
sin??13?13?14,sin?3?112???12?4,
1?3?1?1???1??,sin???.所以sin??sin?sin?sin??sin.
101039?93134121110391?1故满足?sin?的正整数n的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.
4n3sin???
BC与?APC4、（2014一试7）设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I.若点P满足PI?1，则?A的面积之比的最大值为__________. 【答案】3+5 2其中，?=?0?由?AP0I??6??IAP0.
IP011??,于是cot??15,所以 AI2r4?2知，sin???1sin(??)cos??6=2?sin(??)1cos??623sin?cot??315?33?52???.
23cot??315?3sin?2根据（1）、（2）可知，当P?P0时，
S?APB3?5的最大值为.
2S?APC5、（2015二试2）若实数?满足cos??tan?,则【答案】2
1?cos4?的值为 . sin?222【解析】由条件知，cos??sin?，反复利用此结论，并注意到cos??sin??1，得
1cos2??sin2?4?cos???sin2??(1?sin?)?(1?cos2?)?2?sin??cos2??2 sin?sin?
6、（2015一试7）设?为正实数,若存在a,b(??a?b?2?),使得sin?a?sin?b?2,则实数?的取值范
围是
【答案】w?[,][954213,??) 4【解析】由sinwa?sinwb?2知sinwa?sinwb?1，而[wa,wb]?[w?,2w?],故题目条件等价于：存在整数k，l(k?l)，使得w??2k???2?2l???2?2w?.⑴
当w?4时，区间[w?,2w?]的长度不小于4?，故必存在k,l满足（1）式, 当0?w?4时，注意到[w?,2w?]?故仅需考虑如下几种情况： （0,8?），5?15?2w?,此时w?且w?,无解；
22245?9?95（ii)w????2w?,此时有?w?;
22429?13?13913(iii)w????2w?，此时有?w?,得?w?4.
224249513综合（i)、(ii)、(iii)，并注意到w?4亦满足条件，可知w?[,][,??).
424（i)w???
47、（2016一试6）设函数f(x)?sin?kxkx?cos4，其中k是一个正整数.若对任意实数a，均有1010{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}，则k的最小值为 . 【答案】16
反之，当k?5?时，任意一个开区间均包含f(x)的一个完整周期，此时
{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}成立.综上可知，正整数的最小值为[5?]?1?16.
8、（2017一试2）若实数x,y满足x?2cosy?1，则x?cosy的取值范围是. 【答案】[?1,3?1]
2
【解析】由于x2?1?2cosy?[?1,3],故x?[?3,3].
1?x21?x21?(x+1)2?1.因此当x??1时,x?cosy有最小值-1. 由cosy?可知,x?cosy?x?222(这时y可以取
?12)；当x?3时，x?cosy有最大值3+1（这时y可取?），由于(x+1)?1的值域是 22[-1,3?1],从而x?cosy的取值范围是[-1,3?1].
9、（2011一试9）已知函数f(x)?asinx?131cos2x?a??,a?R,a?0 2a2（１）若对任意x?R，都有f(x)?0，求a的取值范围； （２）若a?2，且存在x?R，使得f(x)?0，求a的取值范围．
2【解析】(1)f(x)?sinx?asinx?a?33.令t?sinx(?1?t?1),则g(t)?t2?at?a? aa
(2)因为a?2,所以?因此f(x)min?1?a3??1.所以g(t)min?g(?1)?1? 2a33.于是,存在x?R,使得f(x)?0的充要条件是1??0?0?a?3. aa故a的取值范围是[2,3].
10、（2014一试10）（本题满分20分）数列{an}满足a1?使得sina1sina2......sinam??6,an?1?arctan(secan)(n?N?)求正整数m，
1 100【解析】由已知条件可知，对任意正整数n，
an?1?(???,),且tanan?1?secan.22(1)
由于secan?0,故an?1?(0,).由（）得，1tan2an?1=sec2an=1+tan2an，故
213n?2tan2an=n?1?tan2a1?n?1??，
33?