（2） 如果问一位女士，问她回答（是或否）前平均不确定性和回答（是或否）后
得到的信息量各为多少？
2．黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X={黑，白}。设黑色出现的概率为P(黑) = 0.5，白色出现的概率为P(白) = 0.5。（10分） (1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求信源的H∞熵；
(2) 假设消息只前后有关联，其依赖关系为P(白/白) = 0.8，P(黑/白) = 0.2，P(白/黑) = 0.4，P(黑/黑) = 0.6，求信源的H∞熵;
（3) 比较上面两个H∞的大小，并说明其物理含义。
3． 离散无记忆信源 P(x1)=8/16； P(x2)= 3/16； P(x3)= 4/16； P(x4)=1/16；（10分）
(1) 计算对信源的逐个符号进行二元定长编码码长和编码效率； (2) 对信源编二进制哈夫曼码，并计算平均码长和编码效率。 (3) 你对哈夫曼码实现新信源为等概的理解。
?2?34．设二元对称信道的传递矩阵为?1??31?3? 2??3? 若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4，求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布；并说明物理含义。（10分）
?X??x1x2?5．设信源????0.60.4?通过一干扰信道，接收符号为Y = { y1, y2 }，信道转移
P(X)?????5?矩阵为?61??41?6?，求：（10分） 3??4?01111??1110100????10011???0111010??(P|I)?1101001?10101????(1) 收到消息yj (j=1)后，获得的关于xi (i=2)的信息量；
(2) 信源X和信宿Y的信息熵；信道疑义度H(X/Y)和噪声熵H(Y/X)； (3) 接收到信息Y后获得的平均互信息量。 6二元(7，4)汉明码校验矩阵H为：（10分）
列置换 T
（1）写出系统生成矩阵G，列出错误形式和伴随矢量表，你能发现他们之间有什么联系，若没有这个表怎么译码，
（2）若收到的矢量0000011，请列出编码后发送矢量、差错矢量、和编码前信息矢量。
一、填空题 (每空２分，共２0分) １．设Ｘ的取值受限于有限区间［a,b］，则X服从 均匀 分布时，其熵达到最大；如X的均值为?，方差受限为?，则X服从 高斯 分布时，其熵达到最大。
2
2．信息论不等式：对于任意实数z?0，有lnz?z?1，当且仅当z?1时等式成立。 3．设信源为X={0，1}，P（0）=1/8，则信源的熵为 1/8log28?7/8log2(7/8)比特/符号，如信源发出由m个“0”和（100-m）个“1”构成的序列，序列的自信息量为
mlog28?(100?m)log2(7/8)比特/符号。
4．离散对称信道输入等概率时，输出为 等概 分布。
5．根据码字所含的码元的个数，编码可分为 定长 编码和 变长 编码。 6．设DMS为?u2u3u4u5u6?U??u1??.，用二元符号表????PU??0.370.250.180.100.070.03?X?{x1?0,x2?1}对其进行定长编码，若所编的码为{000，001，010，011，100，101}，
则编码器输出码元的一维概率P(x1)? 0.747 , P(x2)? 0.253 。
二、简答题（30分）
x2??X??x1１．设信源为?????，试求（1）信源的熵、信息含量效率以及冗余度；
P1/43/4?X???（2） 求二次扩展信源的概率空间和熵。
解： （1）
H(X)?1/4log24?3/4log2(4/3)??H(X)/log22?H(X)??1???1?H(X)（2）二次扩展信源的概率空间为：
X\\X x1 x2 x1 1/16 3/16 x2 3/16 9/16 H(XX)?1/16log216?3/16log2(16/3)?3/16log2(16/3)?9/16log2(16/9)
２．什么是损失熵、噪声熵？什么是无损信道和确定信道？如输入输出为r?s，则它们的
分别信道容量为多少？ 答：将H（X|Y）称为信道{X,PY|X,Y}的疑义度或损失熵，损失熵为零的信道就是无损信道，信道容量为logr。
将H（Y|X）称为信道{X,PY|X,Y}的噪声熵，噪声熵为零的信道就是确定信道，信道容量为logs。
３．信源编码的和信道编码的目的是什么？ 答：信源编码的作用：
（1）符号变换：使信源的输出符号与信道的输入符号相匹配；
（2）冗余度压缩：是编码之后的新信源概率均匀化，信息含量效率等于或接近于100%。 信道编码的作用：降低平均差错率。
４．什么是香农容量公式？为保证足够大的信道容量，可采用哪两种方法？ 答：香农信道容量公式：C(PS)?Blog2(1?输入X（t）的平均功率受限于PS。
由此，为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。 ５．什么是限失真信源编码？
答：有失真信源编码的中心任务：在允许的失真范围内把编码的信息率压缩到最小。
三、综合题（20+15+15）
１． 设随机变量X?{x1,x2}?{0,1}和Y?{y1,y2}?{0,1}的联合概率空间为
PS)，B为白噪声的频带限制，N0为常数，N0B?XY??(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)? ?P???1/8?3/83/81/8??XY??定义一个新的随机变量Z?X?Y(普通乘积)
（1） 计算熵H（X），H（Y），H（Z），H（XZ），H（YZ），以及H（XYZ）； （2） 计算条件熵 H（X|Y），H（Y|X），H（X|Z），H（Z|X），H（Y|Z），H（Z|Y），H（X|YZ），
H（Y|XZ）以及H（Z|XY）；
（3） 计算平均互信息量I（X；Y），I（X：Z），I（Y：Z），I（X；Y|Z），I（Y；Z|X）以
及I（X：，Z|Y）。
解：（1） X\\Y 0 1 0 1/8 3/8 1/2 1 3/8 1/8 1/2 1/2 1/2
H(X)?1/2log22?1/2log22?1H(Y)?1/2log22?1/2log22?1
XYZ0000010100111001011101111/801
3/803/8001/8
Z07/81/8
H(Z)?7/8log2(8/7)?1/8log28 XZ001/20101011
3/81/8H(XZ)?1/2log22?3/8log2(8/3)?1/8log28 YZ001/20101011
3/81/8H(YZ)?1/2log22?3/8log2(8/3)?1/8log28
（2）
H(X|Y)?1/2(1/4log24?3/4log2(4/3))?1/2(1/4log24?3/4log2(4/3)) H(Y|X)?1/2(1/4log24?3/4log2(4/3))?1/2(1/4log24?3/4log2(4/3))
X\\Z 0 1 0 1/2 1 0 1/2 3/8 1/8 1/2 7/8 1/8 H(X|Z)?7/8(4/7log2(7/4)?3/7log2(7/3))?1/8(0log20?1log21) H(Z|X)?1/2(1log21?0log20)?1/2(3/4log2(4/3)?1/4log24)
Y\\Z 0 1 0 1/2 1 0 1/2 3/8 1/8 1/2 7/8 1/8 H(Y|Z)?7/8(4/7log2(7/4)?3/7log2(7/3))?1/8(0log20?1log21) H(Z|Y)?1/2(1log21?0log20)?1/2(3/4log2(4/3)?1/4log24)
H(X|YZ)?1/2(1/4log24?3/4log2(4/3))?3/8(1log21?0log20)?1/8(1log21?0log20)
H(Y|XZ)?1/2(1/4log24?3/4log2(4/3))?3/8(1log21?0log20)?1/8(1log21?0log20)H(Z|XY)?0
(3)
I(X;Y)?H(X)?H(X|Y)
I(X;Z)?H(X)?H(X|Z) I(Y;Z)?H(Y)?H(Y|Z)
I(X;Y|Z)?H(X|Z)?H(X|YZ) I(X;Z|Y)?H(X|Y)?H(X|ZY)
２． 设二元对称信道的输入概率分布分别为[PX]?[3/41/4]，转移矩阵为
?P?Y|X?2/31/3????， 1/32/3??（１） 求信道的输入熵，输出熵，平均互信息量；
（２） 求信道容量和最佳输入分布； （３） 求信道剩余度。
解：（1）信道的输入熵H(X)?3/4log2(4/3)?1/4log24；
?1/21/4?[PXY]???
1/121/6??[PY]?[7/125/12]
H(Y)?7/12log2(12/7)?5/12log2(12/5)
H(Y|X)?3/4H(1/2,1/4)?1/4H(1/12,1/6) I(X;Y)?H(Y)?H(Y|X)
（2）最佳输入分布为[PX]?[1/21/2]，此时信道的容量为C?1?H(2/3,1/3) (3)信道的剩余度：C?I(X;Y)
３． 设有ＤＭＣ，其转移矩阵为PY|X???1/21/31/6??，若信道输入概率为
??1/61/21/3????1/31/61/2???PX???0.50.250.25?，试确定最佳译码规则和极大似然译码规则，并计算出相应
的平均差错率。