1.12构造函数计算级数和
将级数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在于各项的化简函数是否基本统一，如何选择函数式子才能有效化简，将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数，选择函数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体会这种方法.
例10[7]：请计算下面的级数式子：记
tt2t3tns=（1-t）(?2?3+...?n?...)，其中t?1-.
t?1t?1t?1t?1e?x1?解：构造函数式子：f(x)?,此函数在[0,??)单调递减. 1?e?x1?ex由于???0?x???d(1?e)e?x?x??dx?dx??ln(1?e)|0?ln2， ?x?x?01?e1?e令h??lnt，满足limh?limlnt=0
t?1t?11?t?1?elnt?1?e?h1?e?htk(e?lnt)ke?hk?h，k??lntk??hk?f(kh).
ht?1(e)?1e?1tt2t3tn（1-t）(??+...?n?...)= 代入题目中的级数式子得：limt?1?t+1t2?1t3?1t?1?x??e1?e?h?1?e?h?limh?f(kh)=limh?f(kh)???xdx?ln2.
0eh?0h?0hh?1k?1k?11.13级数讨论其子序列
引理[1]：数列{sn}收敛的充分必要条件是{sn}的任一子序列都收敛且有相同的极限.特别的：数列
[1]
{sn}收敛于s的充分必要条件是两个互补的子列{s2n},{s2n?1},收敛于同一极限.推广可得：定理：若
级数?an通项满足当n??时， an?0（收敛判别的必要条件），?an收敛于s的充分必要条件是：
n?1n?1??部分和{sn}的一个子序列{snp}收敛于s，其中p满足：p是某个正整数p=1，2，?
将级数分情况讨论，化为多个子序列之和，利用原级数收敛则级数任意添加括号得到的级数和收敛于原级数和原理，通过求各个子序列之和求解原级数和，关键在于如何分解原级数为不同子序列，然而子序列相对于原级数来说易求些，这样方法才行之有效，这和1.6的“原级数转化为子序列求和”是不同的.分情况讨论在三角中讨论角的大小我们已不陌生，下面我们就看一个这样讨论角的幅度的例题.
例11[6]：计算：?n?1?cos2n?3. n25
解：记s??n?1?cos2n?3，由级数敛散性知识可知，该级数绝对收敛.按幅度角的讨论将级数分解为：n2A1?{n|n?3k,k?0,1,2...}，A2?{n|n?3k?1,k?0,1,2...}，A3?{n|n?3k?2,k?0,1,2...}.
?则：?n?0cos2n?2n?2n?2n?coscoscos???3=3+3+3
???nnnn2222n?A1n?A2n?A3cos2??（?+）?cos?12?1?1k3+3 ?（1+cos+cos（?+））() ?23k?2?323k?1k?02343k=02???1??3k2k?0k?0??1115?(1??)?，所以：s??481?17n?18 1.14裂项法求级数和
针对级数是分数形式，且满足分母为多项乘积形式，且各项之间相差一个相同的整数，裂项后各项就独立出来，而原来各项之间相差整数则裂项后新级数等价于求解某一个级数，其余新级数照此可求出，从而原级数和可以求出. 裂项一般形式：
1111?(?)，此处m?n.
(x?m)(x+n)n?mx?mx?n111??...?. 123234n(n?1)(n?2)cos2n?3?1??2. 2n7例12：计算s?解:记an?n1111?] ，an?[n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)n11111??针对?同理采用裂项法记bn?则?=
n(n?1)nn?1k?(k?1)k(k?1)k?1k?1裂项后后面项可以消去前面项部分11111111111??????????? (1?)?(?)?(?)?(?)?(?)+...+(?)???????????这就是裂项法的好处！223344556nn?1n1111-，lim??lim[1-]?1，所以 n?1n??k?1k(k?1)n??n?1n1111lim??lim?[?]= n??n??2(k?1)(k?2)k?1k(k?1)(k?2)k?1k(k?1)nn?1111111111lim??lim(??)=?(1?)?.
242n??k?1k(k?1)2n??k?1k(k?1)222n 1.15裂项+分拆组合法
6
将裂项与分拆组合法合用在一起，运用裂项法分拆级数，再将分拆重新组合级数，由新级数返回求原级数和.
例13：计算?解：
?n.
(n+1)(n+2)（n+3）n?1?1123n?5 ???n+1n+2n+3(n+1)(n+2)（n+3）n1?1125?1= ????(??)??（n+3）3n?1n+1n+2n+33n?1(n+1)(n+2)（n+3）n?1(n+1)(n+2)1125111(?)?(?)?. 3233464 1.16夹逼法求解级数和
在数学分析中运用夹逼法则求解极限，在求极限和中我们也可以借鉴此方法，运用两个级数逼近原级数，最后两逼近级数和等于原级数和.
例14：设m为一给定的正整数，求
m?N[8]
1. ?22m?nn?1,m?n?解：sm?Nm?1m?N111 ??2????22222n?1,m?nm?nn?1m?nn?1?mm?nm?N111111111] ?[????...????(?2mm?1m?1m?2m?212m?1n?m?1m?nm?n)?1111111(1??...??1??...???) 2m22m?N2Nm2m2m1112m2m
函数项级数和依据未知数x的而定，因此在收敛域内寻找一个新函数去刻画级数和. 2.1方程式法
类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项级数和.
x2x3x4x5x6????... 例15：计算函数项级数s(x)?1?x??21324135246解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项级数收敛半径为??，
x3逐项求导得s(x)?1?x?x??...即：s'(x)?1?xs(x)2'2s(0)?1
解此微分方程得：s(x)?e(?edt?1).
0x22x?t227
2.2积分型级数求和
积分型级数求和显然直接求和会带来困难，通常积分也积不出来，所以要转化，将积分式子化简是个想法，通过变量替换等积分技术化简积分式子，再求级数和，所以关键在于处理积分式子，下面我们看个例题.
例16：计算级数??k?0?(2k?1)?2k?e?x2|sinx?cosx|dx.
sinx解：因为x?(2k?,(2k?1，作变量替换x?2k??t得： ）?）?(2k?1)?2k?tt??(k??）|sint?cost|??|sint?cost||sinx?cosx|?k?2edx=?edt?e?e2dt
00sinxsintsint?t?|sint?cost|sin't2edt??e(sint?)dt?C得：
sintsint?t2x2再根据：???0et?(k??）2?tt??sint?cost?sint?cost|sint?cost|dt???4e2dt???e2dt=
0sintsintsint4?2e?t2?sint|?2e40??t2sint|=?2e4???t2?sint|?2e40?t2sint|4e4????8sint?c?28e4??8.
所以原级数=?ek?0?k???0e?t2??sint?cost1dt?248e8. ??1?esint 2.3逐项求导求级数和
根据幂级数逐项求导收敛半径不变原理，对原级数逐项求导后化为一些易求和的幂级数，再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。 泰勒定理
'[1]
：若函数f(x)在x0的某领域内存在n?1阶的连续导数，则f(x)=
f''(x0)f(n)(x0)2f(x0)?f(x0)(x?x0)+(x?x0)?...?(x?x0)n?Rn(x)，这里Rn(x)是拉格朗日余项即
2！n！f(n?1)(x0)Rn(x)?(x?x0)n?1.设f(x)在区间(x0?r,x0?r)内等于它的泰勒级数的和的充要条件：对一切
?n+1?！满足不等式 |x?x0|?r的x，有limRn(x)?0，上式右边称为f(x)在x?x0处的泰勒展开式.由泰勒展
n??开式可知右边是个级数，而在求解级数时我们可以逆向来看，已知以级数和像求f(x)的方向行进，找准各阶对应的导数形式，并按泰勒级数的样子提炼出f(x).但在实际应用中f(x)在x0?0处的级数应用较多，称为麦克劳林级数.而由泰勒级数的定义可以将一些基本初等函数推导出来，再有基本初等函数推导复合函数的级数和形式，反过来即是求级数和.这也不失为一种求级数和的选择.这中方式在前面函数项级数求和的过程中已经有所运用，在此总结是为了形成一种较为普遍的方法.即使是级数逐项求导积分法也是基于此理论基础之上的.
8
(?1)nx4n?1例17：求解s(x)??.
4n?1n?0?解：由莱布尼茨定理可以判断此交错级数收敛，且收敛区间为[-1,1],将级数逐项求导可得：
s(x)??(?1)x'nn?0?4n?11n(利用易知麦克劳林展式) ??(?x)?(?1)x??41?x1?xn?0n?04n?再积分回去便得到级数和.
2.4逐项积分求级数和
通过级数逐项积分收敛半径不变原理，对原级数逐项积分后化为一些易求的幂级数，再往回求导，可求出原级数和.
例18：计算?nxn.
n?0?解：记s(x)??nxn?x?2x2?3x3?4x4?...，对其逐项积分得：
n?0?1223341213x?x?x?...?(1?)x?(1?)x?...= ?023423111x(x?x2?x3?x4?...)?(x?x2?x3?x4?...)=?ln(1?x)2341?xxs(t)dt?，其中x?(?1,1)，
xx所以s(x)??nxn?(. ?ln(1?x))'=2(1?x)1?xn?1? 2.5将原级数分解转化为已知级数
分解为已知在数学中是一种基本的技巧，通过转化为我们所知道的知识解决原复杂问题在很多地方都是个不错的想法，因此在解决级数和的问题时我们也引入这思想.我们已知在幂级数中已知的麦克劳林展式有好几个，我们要将这几个基本初等函数的展式牢记于心，还要学会利用拉格朗日展式的角度逆向思考级数求和的问题.我们简单的引入一个问题来说明这种方式，主要是引入这种思想.
例19：计算??1. 2n(n?1)2n?2??分解11111?????解：记s??2（?)n， ????n2n?2n?1n?12n?2(n?1)21111153利用ln(1?x)的麦克劳林展式得：s??ln(1?)?ln(1?)??=?ln2.
4222884 2.6利用傅立叶级数求级数和
通过构造函数，并通过延拓的方式求此函数的傅立叶展式，再由收敛定理求解函数值即可求出原级数和，关键在于准确找出傅立叶函数.
例20：计算?1. 2n?1n?解：构造傅立叶函数f(x)= x2,其中x?[0,?]作偶延拓得: g(x)= x2,???x??由此可知傅立叶系数为：bn?0，其中n?1,2,3...
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