第七讲一线三等角型相似三角形
例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE
例2：（1）在?ABC中，AB?AC?5，BC?8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点，且保持?APQ??ABC. P不与点C、点B重合）
①若点P在线段CB上（如图），且BP?6，求线段CQ的长；
②若BP?x，CQ?y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
A
Q B
（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线．．CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持?APQ?90?.当CQ?1时，求出线段BP的长.
A
D
A
D
A
P
C
A A B
D E
A
F
C
B
备用图
C
B
备用图
C
D
B
C
B
C
B
C
例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．
B
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长．
ADA P D C
BC
ADBC
例4：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?CD?BC?6，AD?3．点M为边BC的中点，以M为顶点作?EMF??B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．
（1）求证：△MEF∽△BEM；
（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EF?CD，求BE的长．
相关练习：
1、如图，在△ABC中，AB?AC?8，BC?10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且?ADE??C． (1) 求证：△ABD∽△DCE；
(2) 如果BD?x，AE?y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域； (3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．
2、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，
联结DE，并作?DEF??B，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长； （3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
A E
B
D
C
AF
DBE
C
3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点． （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线
CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并
写出函数的定义域； ②当S?DMF?
A E
9S?BEP时，求BP的长． 4D
E A D
B P
（第25题图）
C B （备用图）
C
4、如图，已知边长为3的等边?ABC，点F在边BC上，CF?1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边?EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N， （1）写出图中与?BEF相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；
（3）设BE?x,MN?y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （4）若AE?1，试求?GMN的面积．