固体物理教程答案 1
第一章、 晶体的结构
1． 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：
（1）简立方，
?6; （2）体心立方,
32?; （3）面心立方，?; 86（4）六角密积，[解答]
23?; （5）金刚石结构，?; 616设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，
4n?r33设 n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度?=
V（1）
子球将依次相切，因为
对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原
3a?4r,V?a3,
面1.2 简立方晶胞
433?(a)2晶胞内包含1个原子，所以 ?=
a3??6
（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为
3a?4r,V?a3,晶胞内包含2个原子，所以
?=
2*43?(a33a34)?3? 8 图1.3 体心立方晶胞
（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为
2a?4r,V?a3，1个晶胞内包含4个原子，所以
2a34?
=
4*43?(a3)?2?6.
图1.4面心立方晶胞
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（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，
图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体
晶胞内的原子O与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高
h=
23a?2?23r?c 2,一个晶胞内包含两个原子，所以 ρ=
a32*43?(2)3232晶胞体积 V= casin60?ca22ca2?2?6.
（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为
3a?8r,
晶胞体积 V?a3,
8*43?(33a)3?8?16a3? 图1.7金刚石结构
一个晶胞内包含8个原子，所以 ρ=.
2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（122），和（210）晶面。 [解答]
?
图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。
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3．如图1.9所示，在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示，它们代表一个晶面在基矢的截距分别为
a1a2a3,,,在hkmC轴上的截距为
c l??m求出 O,A1A3,A1A3B3B1,A2B2B5A5 和A1A3A5 四个面的面指数。
证明：h?k
[解答]
图1.9六角晶胞对称画法
设 d是晶面族（hkml）的面间距， n是晶面族的单位法矢量，晶面族（hklm）中最靠近原点的晶面在a上的截距分别为 a1/h,a21a2a3,c 轴
/k,a3/m,c/l 所以有
??(a2?a3), 所以 a3?n??(a2?a3)?n。
a1?n=hd, a2?n=kd, a3?n=md. 因为 a3由上式得到 md=?(hd?kd). 即m??(h?k),
??由图可得到： O'A1A3 晶面的面指数为(1121),A1A3B3B1面的面指数为(1120)
A2B2B5A5晶面的面指数为(1100),A1A3A5晶面的面指数为(0001)
4．设某一晶面族的面间距为 d , 三个基矢 a1,a2,a3的末端分别落在离原点的距离为h1d,h2d,h3d的晶面上，试用反证法证明：h1,h2,h3是互质的。 [解答]
设该晶面族的单位法量为 a1,a2,a3 由已知条件可得 a1?n假定h1,h2,h3 不是互质数，且公约数
??h1d,a2?n?h2d,a3?n?h3d,
p?1 即 h1?pk1,h2?pk2,h3?pk3
k1,k2,k3是互质的整数， 则有 a1?n?pk1d,a2?n?pk2d,a3?n?pk3d
今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为r由于 心定是整数 ， 而且r?n?l1a1?l2a2?l3a3,
?d?l1a1?n?l2a2?n?l3a3?n
1 p于是得到
pk1l1?pk2l2?pk3l3?1 由上式可得k1l1?k2l2?k3l3?上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。矛盾的产生是 p为不等于1的整数的假定。也就是说，p只能等于1，即
h1,h2,h3 一定是互质数。
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5．证明在立方晶体中，晶列[hkl]与晶面（hkl）正交，并求晶面(h1k1l1) 与晶面(h2k2l2)的夹角。
[解答]设d 是为晶面族（hkl）的面间距 ，n为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（hkl）将 a,b, c分别截为
h,k,l 等份，即 a?n=acos(a,n)=hd, b?n=bcos(b,n)=kd, c?n=ccos(c,n)=ld
于是有 n=hdddi+kj+lk
aaa=
d(hi+kj+lk)a其,i ,j,k 分别为平行于a,b,c 三个坐标轴的单位矢量，而晶
列[hkl] 的方向矢量为 R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk)
由（1），（2）两式得n=
dR 即n与R 平行，因此晶列[hkl2a]与晶面（hkl）正交。
=h1a+k1b+l1c
对于立方晶系，晶面(h1k1l1) 与晶面(h2k2l2) 的夹角，就是晶列 R1与晶列 R2=h2a+k2b+l2c 的夹角，设晶面 (h1k1l1)与晶面 (h2k2l1) 的夹角为 ? 由
R1?R2=
得 ?2222R1R2cos??h1?k12?l12h2?k2?l2acos? =h1h2a2?k1k2a2?l1l2a2
2?cos?1{h1h2?k1k2?l1l2(h?k?l)(h?k?l212121222222}
6．如图1.10所示，B,C 两点是面心立方晶胞上的两面心。 （1） 求 ABC 面的密勒指数；
（2） 求 AC 晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。
图1.10 面心立方晶胞
[解答] （1）
??BABC矢量与矢量的叉乘即是 ABC 面的法矢量
???11BA=OA?OB?(a?b)?(b?c)?(2a?b?c),
22???111BC?OC?OB?[c?(a?b)]?(b?c)?(a?c),
222?1?1a BA?BC?(2a?b?c)?(a?c)?(a?3b?c).
224因为对立方晶系，晶列[hkl]与晶面族（hkl）正交，所以ABC 面的密勒指数为(131).
????11AC?OC?OA?[c?(a?b)]?(a?b)??(a?b?2c).
22??可见 AC 与晶列 (a+b-2c) 平行，因此 AC 晶列的晶列指数为[112].
（2）
由《固体物理教程》（1?3）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系
a??a1?a2?a3, b?a1?a2?a3, c?a1?a2?a3
晶列 (a+b-2c) 可化为 (a+b-2c)=-2(a1?a2?2a3) 由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为[112]
?7．试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
[解答] 设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取为 a?a(j?k), a212a3a(k?j), 2a?(i?j).2?由倒格矢公式 b?2?[a2?a3],b?2?[a3?a1],b?2?[a1?a2],
123???固体物理教程答案 5
2?(?i?j?k),a可得其倒格矢为 2?b2?(i?j?k),a2?b3?(i?j?k).ab1?a(?i?j?k),2设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k ,体心立方正格子的原胞基矢可取为
aa2?(i?j?k),2aa3?(i?j?k).2a1?以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子， 这说明面心立方的倒格子是体心立方。将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式
b?2?[a2?a3],b?2?[a3?a1],b?2?[a1?a2].
123???2?(i?k),a则得其倒格子基矢为 2?b2?(k?j),a2?b3?(i?j).ab1?可见体心立方的倒格子是面心立方。
3aai?j,228．六角晶胞的基矢b??3ai?aj, 求其倒格基矢。
22C?cka?[解答]晶胞体积为 ??a?[b?c]
3a3aai?j)?[?(ai?j)?(ck)] 222232?ac.2?(其倒格矢为
2?[b?c]?3a?2?[(?ai?j)?(ck)]?22a??2?3(i?j).a32?[c?a]b???3a?2?[(ck)?(ai?j)]?22??23a2c23a2c2?3(?i?j).a32?[a?b]c???3a3a?2?[(ai?j)?(?ai?j)]?2222
2??kc9．证明以下结构晶面族的面间距： （1） 立方晶系:dhkl23a2c
?a[h?k?l],
2212?2