例1.2两台车床加工同一种零件，从这100个零件中任取一个.设取得合格品为事件A，取得的是第1台加工的为B1，取得的是由第2台加工的为B2。求由各台车床加工时，出合格品的概率？
解：由第一台加工出合格品的概率为 P ( A B 1 )，由第一台加工出合格品的概率为 P ( A B 2 )，
P由概率的古典定义： (A)?85100?0.85，P(B1)?40100?0.4,P(B2)?60100?0.6P由条件概率公式求， (AB1)?35100?0.35，P(AB2)?50100?0.5
例1.5（例1.2续） 求：取出的合格品是由第一台车床加工的概率？
解：取出的合格品是由第一台车床加工的概率 P(B1A)?P(AB)?0.35，P(AB)?0.512 由贝叶斯公式，得：
例 1.10 已知：求 ：① F (x)??P(AB)0.35 ○2 P ( X ? 0.5),
P(B1A)?1P(AB1)?P(AB1)P(B1)＝0.350.4?0.875,P(AB2)?P(AB2)P(B2)＝0.50.6?0.833P(1?X?1.5),P(1?X?1.5)？P(AB1)?P(AB2)?0.35?0.5?0.41解： ①F ( x ) ? P ( X ? x )
??x?0?P(x?0)?0??0?x?1?P(X?1)?P(X?0)?1/3???P(X?2)?P(X?0)?P(X?1)?1/2?1?x?2??P(X?2)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?12?x?0.5)?F(0.5)?13
解②：由分布函数的图可得P (X P (1 ? X ? 1.5) ? F (1.5) ? F (1) ? 1 2 ? 1 2 ? 0
P(1?X?1.5)?F(1.5)?F(1)?P(X?1)?16
例1.15 设二维随机变量( X,Y)的概率密度
0 X 1/3 p 1 1/6 2 1/2 ?e?(x?y),0?x??,0?y??f(x,y)??0,其它?求：①分布函数？②落在如图所示的三
角形域G内的概率？ ③求边缘分布函数fX(x|y)和FY(y)。④求边缘概率密度fX(x)和
fY(y)。⑤求条件分布函数FX(x|y)和FY(y|x)。⑥求条件概率密度fX(x|y)和fY(y|x)。F⑦X和Y是否统计独立？ XY(x,y)?????xy??f(u,v)dudv0?x??,0?y??其它0?x??,0?y??
解：①分布函数
?xyf(u,v)dudv????0?0?0??(1?e?x)(1?e?y),??0，?②落在三角形域G内的概率 P{(x,y)?G}???GfXY其它(x,y)dxdy???0?1?y11?y0e?(x?y)dxdy????1010e?y[?1?y0e?1?xdx]dy??10e?y?(1?e)dy(e?y?e)dy?1?2e?1?0.26422g(X)?X?1例1.22 随机变量X在区间(a,b)上均匀分布，求 的数学期望。
?1解：由于X 服从均匀分布，概率密度为 ,a?x?b?f(x)?b?a?
?0,其它? ?b12E[g(X)]?g(x)f(x)dx?(x?1)dx函数的期望 X????a
b?a??bax?1b?a2dx?13(a?ab?b)?122例2.4 设随机过程X ( t) = a cos( w 0 t + F )式中， 0 皆为常数， F 是在 (0, 2 p )上均匀分布的随a,w机变量。
ì1/2p,0 ￥mX(t)=E[X(t)]=òx(t)fF(f)df- =2pacos(wt+f)?1df0ò002p 2 a2E [X(t)]=RX(t,t)=RX(0)=2< RX(t1,t2)=RX(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]=E[acos(w0t+F)?acos(w0(t==aa2t)+F)]22E[cosw0t+cos(2w0t+w0t+2F)][cosw0t+ò2p022cos(2w0t+w0t+2f) 12pdf]a =cosw0t=RX(t)2 2?可见，自相关函数仅与时间间隔 t 有关，均方值为“ ” 有限，故过程X( t )是宽平稳过 程。 例2.6 已知平稳过程X(t)的自相关函数为RX(t)=241+5t2+36，求X(t)得均值和方差。 )2解：由平稳随机过程自相关函数的性质，mX=RX(? 36?mX饱RX()= 6s2X=RX(0)-RX(?)40-36=4 G例3·4 已知平稳过程X(t) 具有功率谱密度： X(w)=16w+13w+3642求其自相关函数，平均功率，均方值。 解：利用部分分式法 G (w ) = 16 利用傅氏变换对: X (w+4)(w+9)221644865=2-25=?2 2w+4w+95w+415w+916轾2a-at犏2?e2犏a+w臌 4-2t∴自相关函数为：R X(t)=?e平均功率为： P?RX(0)?RX(?)8155 e-3t均方值： 2E轾臌X(t)=??0 ? 4 ? 2 ? 8 ? 3 ? ? 4 8 4 ???e??e???? 15?5???051515 R(0=)X45-815=41 5 例4.3如图所示的低通RC电路，已知输入信号X(t)是宽平稳的 双侧信号，其均值为mX，求输出均值。 解：由电路知识可得此系统的冲激响应为：h(t)=be-btU(t)， 其中b=1/RC。则其输出均值为mY?mX4.4 X(t)是相关函数为 N02??0be?budu??mXe?bu?0|?mX （1）输出的自相关函数。（2）输出的平均功率 ?(?)的白噪声求： （3）输入与输出间的互相关函数RXY(?)RYX(?) 解：1）由题意知RX(?)??RY(?)??N02N02?(?)输出自相关函数 ??0h(u)[??0N02?(??u?v)?h(v)dv]du ??0h(u)h(??u)du当输入是白噪声时，该系统输出的自相关函数正比于单位冲激响应函数的卷积。 于是，RY(?)?N02??0(be?bu)U(u)(be?b(??u))U(??u)du 按 ??0 与??0 两种情况求解： 当 ??0 时，有RY(?)?N0b22e?b???0e?2budu?N0b?b? e4利用自相关函数的偶对称性，则当 ??0 时有： RY(?)?RY(??)?N0bb?e 4合并??0 和??0 的结果，得到输出自相关函数： RY(?)?N0b?b|?|e，4|?|?? 2）在上式中令 ??0 ，即可得输出的平均功率为 PY?E[Y(t)]?RY(0)?2N0b4 由于b是时间常数RC的倒数，它也与系统的半功率带宽 ?f有关。其中： ?f?12?RC?b2?(HZ) 2于是输出平均功率又可写为 ：PY?E[Y(t)]??N02??f 由此可见，该系统的输出平均功率随着系统的带宽变宽而线性的增大。 3）RXY(?)?RYX(?)???0N02?(??u)h(u)du?N02N02h(?)?N0b?b?eU(?) 2??0N02?(??u)h(u)du?h(??)?N0bb?eU(??) 2例4.5在例4.4 中假设X(t)的自相关函数为RX(?)?关函数。 RY(?)??N04e??|?| 式中??b，求输出的自相 解： ???0??0RX(??u?v)h(u)h(v)dudv??|??u?v|??0??0?N04e?be2?bu?e?bv dudv当??0时，考虑到u，v均在0~∞之间变化，故先对v积分方便。 RY(?)????N0b4222??0e?bu????u??(??u?v)?bu??(??u?v)?bue?edv?e?edv?u????0?du???b? ??N0b24(b??)(e?????be)，??0因自相关函数为?的偶函数，所以??0时的RY(?)表达式直接能直接由??0时的表达式 ??N0b222RY(??) 写出。综合可得：RY(?)?4(b??)(e??|?|???b|?|be) 例4.6、 利用频域分析法重做例4.4 解：因为 RX(?)?N02?(?)?GX(?)?N02 h(t)?be?bt?U(t)?H(?)?bb?j? ?H(?)?2b222b?? GY(?)?GX(?)?H(?)?2N02?b222b?? ?RY(?)?N0b4?e?b? 例4.7 利用频域分析法重做例4.5 解：RX(?)???N0??|?|4e?GX(?)?N02?222(???)22 GY(?)?H(?)GX(?)?2N0?b??2(b??)(?222所以 ?N0?b?2??)2 ?2??2b?????222222?4(b??)????bb???对上式两边取傅里叶反变换得： RY(?)?F??12[GY(?)]??1?2???12b?F[]?F[] ?222222?4(b??)????bb??????|?|??b|?|?e??e22?4(b??)?b??b??N02b??N0?例4.8 设计一稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出功率谱为： GY(?)?25??492??10??942 解：GY(?)的复频域表达式为 GY(s)?(7?5s)(7?5s)(1?s)(9?s)7?5s(s?1)(s?3)2249?25s422s?10s?9?(7?5s) 进行谱分解有： GY(s)??(7?5s)(1?s)(3?s)(1?s)(3?s)(7?5s)(s?1)(s?3) 令GY(s)? GY(?s)? 因GY(s)位于S平面的所有极点s1??1,s2??3均在左半平面，所以选GY(s)为H(s)。即H(s)?GY(s)?7?5s(s?1)(s?3)所设计系统的传递函数为H(?)?7?5j?(j??1)(j??3) 例4.9 对前（例4.6）中的RC电路，求其等效噪声带宽。 解：?b?H(?)?H(?)21RC?2??f??? bb?j?H(?)Max?H(0)?1bb222?H(?)?H(??)??0b b?j?b?j????b???2??e??|H(?)|d?2Max2|H(?)|????b220b??d??2?2?b??? ?fe?e.???f2?2例4.11设输入随机信号X（t）是均值为0，自相关函数为随机信号的一维概率密度函数。 N02?(?)的高斯白噪声，求输出 解：因为高斯过程的积分仍然是高斯过程，所以Y(t)也是一个高斯过程，其一维概率密度 12??Y(y?mY)2?Y22为 fY?exp[?]，又mY=0，RY(?)= RY(?)?b?N0b|?|e，则 4?= RY(0)= 2YN04RC,于是，输出Y(t)的一维概率密度为fY(y)?2RC?N0exp(?2RCyN02) 例6.1 求cosWt，sinWt的Hilbert变换 1￥cosW(t+t)解（1）H [cosWt]=òdt- p-t 1￥轾11 =ò犏-cosWtcosWt+sinWtsinWtp- 犏t臌t =ゥcosWt1轾-cosWtdt+sinWt犏蝌-?p犏t臌 dtdtsinWtsinWtt由于cos W t t是 t 的奇函数，所以第一项积分为0，而则 t 是t 的偶函数， ?H[cos?t]?2又因为辛克函数积分 ??0??,a?0?sinax?2dx??x???,a?0??2??sin?t???0sin???d??sin?t，??0?H[cos?t]?sgn(?)?sin?t????sin?t，??0（2）对上式两端再求一次Hilbert变换，即有 H?H[cos?t]?H[sin?t]利用性质2有 H?H[cos?t]??cos?t ??cos?t，??0H[sin?t]??sgn(?)?cos?t??则 ?cos?t，??0\\H[cosWt]=sgn(W) sinWt H[sinWt]=-sgn(W) cosWt例6.2 设限带信号S1(t)=a(t)cosw0t，S2(t)=a(t)sinw0t其中a(t) 为低频限带信号，其 ??A(?)，A(?)??频谱为： ? 0，?|?|???2 求 S1(t)，S2(t)的Hilbert变换。 其它??0解： （1）利用傅氏变换的相乘性质，有a (t)综cosw0t 故而 S1(w)=12[A(w-w0)+A(w+w0)]12pA(w)*p[d(w-w0)+d(w+w0)] ì1?A(w-w0),w>0?2??由于??0，S1(w)=í2?1?j?A(w+w0),w<0?A(???0),??0?2??2?(?)??jsgn(?)?S(?)?其Hilbert的频谱S?11?jA(???),??0?1?0?1(t)?F[S1(?)]s??2 jwt?1(t)=sò2p1￥- -jsgn(w) S1(w)edw?1(t)=H[a(t)cosw0t]=a(t)sinw0t即：s 轾1￥j轾10jwtjwtA(w+w0)edw-犏A(w-w0)edw} ={犏蝌犏2犏2p- 2p0臌臌 轾11ゥjwtjwt =j{轾A(w+w0)edw-犏A(w-w0)edw}犏蝌犏2p-?2p 2犏（2）利用Hilbert性质2臌臌 j-1-1?2(t)=H[a(t)sinw0t]=H?H[a(t)cosw0t]-a(t)cosw0t={F[A(w+w0)]-F[A(w-w0)]}s 2=j2{a(t)e-jw0t-a(t)ejw0t}=a(t)?j2(e-jw0tejw0t)