双曲线和抛物线的区别究竟在哪？
安徽省五河高级中学 刘瑞美（邮编：233300）
在复习圆锥曲线时，有学生提出这样的问题：“椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。从图像上看，椭圆和双曲线与抛物线图像有着明显的差别，容易区分，但双曲线和抛物线图像都是无限延展的，其形状差不多，如何区分？怎样区分” ？带着这样的疑惑，我们从如下几个方面探讨了两者之间的差别。 1.从用平面截圆锥的角度比较
大家知道，双曲线和抛物线都属于圆锥曲线——也就是空间圆锥曲面与平面相交产生的曲线。当平面与旋转轴间的夹角等于圆锥半顶角（平面与圆锥顶点不共面）时，交线为抛物线（如图1）；
（ 图1） （图2）
当平面与旋转轴间的夹角小于半顶角且大于等于0?时，交线为双曲线（如图2）。
在我们教材的章头部分有这样一句话，当我们用平面去截圆锥，根据截面与圆锥轴的夹角不同，所得到截面周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线。到底当截面与圆锥轴的夹角为多大时，得到的周界才是椭圆、双曲线和抛物线呢？
下面我们来证明上述结论。为研究问题的方便，我们特作如下的约定：
设圆锥AEF的轴截面AEF顶角?EAF?2?(0????2)，平面?与圆锥轴线AC所成的角
ZFA2妨设平面AEF?平面?.A在平面?上的射影为O，B为平面?截圆锥
面所得图形上任一动点。
以O为原点，CO,OA分别为y,z轴建立空间直角坐标系(如图3)，
??(0???)。设平面?过母线AE上的点D，又C??，AC?m.不
则CO?mcos?,OA?msin?，因而C(0,?mcos?,0),A(0,0,msin?).
再设B(x,y,0),则AC?(0,?mcos?,?msin?),AB?(x,y,?msin?)，
CBEDOxy? 图3 AC?AB??mycos??m2sin2??m?x2?y2?m2sin2??cos?.两边平方整理可得：
cos2??x2?(cos2??cos2?)y2?2msin2?cos??y?m2sin2?(cos2??sin2?)?01、 当??(?)
?2时，(?)式变为cos2??x2?cos2??y2?m2(cos2??1)?0,即x2?y2?m2tan2? ，
得到一个圆。
1
2、 当??0时，(?)式变为cos2??x2?sin2??y2?0,显然是两条直线。
0,)3、当????(?2时，(?)式变为cos2??x2?2msin2?cos??y?m2sin2?(cos2??sin2?)?0,
显然是一条抛物线。 4、当???且0???222?2时，(?)式可变为
2msin2?cos?2m2sin4?cos2?2222cos??x?(cos??cos?)(y?)??msin?(cos??sin?)?02222cos??cos?cos??cos?msin2?cos?2m4sin4?cos2??cos??x?(cos??cos?)(y?)?cos2??cos2?cos2??cos2?2222(??)，
此时若0?????若0??????2,因为cos2??cos2??0，则(??)式显然表示椭圆；
?2,因为cos2??cos2??0，则(??)式显然表示双曲线。
很显然，当????(0,?2)时，所得截面周界是抛物线；当0??????2时，所得截面周界是双曲线。
椭圆、双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希
腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。 2.从圆锥曲线第二定义比较
通过上面的研究我们发现，圆锥曲线是用平面截圆锥面得到平面曲线，因此它们之间存在着千丝万缕的联系，但又有着本质的区别。
圆锥曲线是平面内动点到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹（定点不在定直线上）。 这个常数e叫圆锥曲线的离心率，定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫圆锥曲线的准线。当e?1时，其轨迹是双曲线，此时它有两个焦点、两条准线、两条渐近线；当0?e?1时，其轨迹是椭圆，此时它也有两个焦点、两条准线；当e?1时，其轨迹是抛物线，此时它只有一个焦点和一条准线，没有渐近线。实际上离心率的几何意义就是曲线上的动点到焦点和准线距离之比。
离心率e是圆锥曲线概念的重要组成部分。揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功能。
双曲线的离心率e是用来刻画双曲线“张口”的大小的量。从直观上看，双曲线的两支是向外无限延伸的，但始终在渐近线形成的一组对顶角中，不会越过这两条直线（通常称渐近线）。而抛物线只向外无限延伸，不受任何条件的约束，它是没有渐近线的。因此从离心率的大小、焦点个数、准线条数来看，双曲线和抛物线是属于两类不同性质的问题。 3.从有无渐近线比较
要从有无渐近线比较，就必须首先了解什么是渐近线。从仿射几何的角度，二次曲线的渐近线就是二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称此直线为二次曲线的渐近线。从中学教材中渐近线可以理解为：当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，若这一点到一条直线的距离无线趋近于零，则这条直线就称为这条曲线的渐近线。换一句话说，渐近线就是一条曲线和一条直线无线靠近，但永远不相交。因而双曲线有两条渐近线y??bx，抛物线没有渐近线。下面我们来证明上面的问题。 a222（1）设M(x,y)是双曲线在第一象限内的点，则y?bx2?a2(x?a)，因为x?a?x，所以
a
2
y?bbb2b2bx?a2?x?x，即y?x.因而，双曲线在第一象限内的点都在直线y?x的下方。再设
aaaaabx上，aM(x,y),N(x,y1)是第一象限内两个具有相同横坐标的点，且点M在双曲线上，点N在直线y?则根据y?b2x?a2(x?a)得，MN?y1?y?bx?bx2?a2 aaab(x?x2?a2)(x?x2?a2)ab??,(x?a)，这样当2222ax?x?ax?x?ax?x2?a2随着x的增大而增大时，
1x?x?a22随着x的增大而减小，从而M,N两点间的距离MN随着x的增大而减小，且当x无限增大
时，MN无限趋近于0，即双曲线在第一象限内与直线y?的两支在向外无限延伸时，双曲线与两条直线y??双曲线有两条渐近线。
bx越来越近。再根据对称性可知，当双曲线abx无线逼近，但永远不会与这两条直线相交。因而a（2）假设抛物线x2?2py(p?0)存在渐近线为y?kx?b，设M(x,y),N(x,Y)是第一象限内两个具有相同横坐标的点，且点M在抛物线y?12x(x?0)上，点N在直线y?kx?b(k?0)上，则2pY?kx?b.设MQ表示点M到直线y?kx?b的距离，则MQ?MN.
由假设可知y?kx?b是抛物线x2?2py(p?0)的渐近线，即当x逐渐增大时，MQ无限接近于零。 而MN?y?Y?1x2?(kx?b)?1x2?kx?b,令f(x)?1x2?kx?b(x?0),
2p2p2p2有f(x)?1x2?kx?b?1(x2?2pkx?2pb)?1(x?pk)2?pk?2b,?x?(pk,??)时，
2p2p2p2f(x)是单调增的。即当x逐渐增大时，MN也逐渐增大，x逐渐增大时，MN无限
接近于??.如图4，设直线的倾斜角为?，则ant??k0.?MQM?Ncos?1k2?1??1ant2MN?1?
图4 MN???(当x???).所以当x逐渐增大时，点M到直线
y?kx?b的距离
也逐渐增大。这与假设矛盾，所以抛物线不存在渐近线。因而，双曲线有两条渐近线，抛物线没有渐近线。
4.两者有着不同应用
从物理性质比较，两者具有不同的物理性质。将一个点光源放在其焦点上，经过曲线反射后，汇聚一点，则曲线是椭圆（如图5）；若经过曲线反射后，光线分散，其反向延长线汇聚一点，则曲线是双曲线（如图6）若经过曲线反射后，光线为平行光线，则曲线是抛物线（如图7）。圆锥曲线这些性质在现代的航天、航空、航海及现代化的通信领域中都有着广泛地应用。
B D F2 A ? ? ? ? ? 3 FO 1 F2 F1 图5
通过从以上几个方面对抛物线和双曲线的比较分析，使学生对两者有了一个清醒的认识，并从本质上加强了对圆锥曲线的再认识。
参考文献：
1.刘瑞美.对2011年一道高考圆锥曲线问题的探究,中学数学杂志[J]，2012.3 2.刘瑞美.与二次曲线切线有关的问题之探究，中学数学研究[J]，2012.7 3.曹 军.“通性通法”应为解题首选方法，数学通报[J]，2012.7
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