习 题 三 （A）
三、解答题
1. 设口袋中有3个球，它们上面依次标有数字1，1，2，现从口袋中无放回地连续摸出两个球，以X，Y分别表示第一次与第二次摸出的球上标有的数字，求(X，Y)的分布律． 解：(X，Y)取到的所有可能值为(1，1)，(1，2)，(2，1)由乘法公式： P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1}=2/3?1/2=/3， P{X=1，Y=2}= P{X=1}P{Y=2|X=1}=2/3?1/2=1/3， P{X=2，Y=1}= P{X=2}P{Y=1|X=2}=1/3?2/2=1/3. (X，Y)的分布律用表格表示如下：
Y X 1 2
2．设盒中装有8支圆珠笔芯，其中3支是蓝的，3支是绿的，2支是红的，现从中随机抽取2支，以X，Y分别表示抽取的蓝色与红色笔芯数，试求： (1) X和Y的联合分布律；
(2) P{X，Y} ? A}，其中A = {(x，y)| x + y ? 1}． 解：X，Y所有可能取到的值是0， 1， 2
i2?i?jC3C2jC2(1) P{X=i， Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=， i， j=0，1，2， i+j?2 2C81 1/3 1/3 2 1/3 0 或者用表格表示如下：
Y X 0 1 2
(2)P{(X，Y)?A}=P{X+Y?1}=P{X=0， Y=0}+P{X=1，Y=0}+P{X=0，Y=1}=3/28+9/28+6/28=9/14.
0 3/28 9/28 3/28 1 6/28 6/28 0 2 1/28 0 0 3．设事件A、B满足P(A)?111Y分别为一次试验中A，,P(A|B)?,P(B|A)?,记X，
422 B发生?1, A发生?1，B发生的次数，即X??，Y??，求：二维随机变量(X，Y)的分布
?0，A不发生?0，B不发生律．
解：因为P(A)=1/4，P(B|A)?P(AB)P(AB)1??1/2得P(AB)=1/8， ,由P(B|A)=
P(A)1/42 由P(A|B)=
P(AB)?1/2得P(B)=1/4.
P(B) (X，Y)取到的所有可能数对为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)，则 P{X=0，Y=0}=P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=5/8, P{X=0，Y=1}=P(AB)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8, P{X=1，Y=0}=P(AB)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8, P{X=1，Y=1}=P(AB)=1/8.
4．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
?Axy, 0?x?1,0?y?1, f(x,y)?? 其它.?0, 试求： (1) 常数A (2) P{X = Y} (3) P{X < Y}
(4) (X，Y)的分布函数． 解：(1)由归一性知：
1=
(2) P{X=Y}=0, (3) P{X . ， 故A=4 F(x，y)= 即F(x，y)= 5．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ?2xy?x?, 0?x?1,0?y?2 f(x,y)??3?其它?0,求P{X + Y ? 1}． 解：P{X+Y?1}= x?y?1??f(x,y)dxdy??1201?x?(x2?xy65 )dydx?372 6．将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现正面的次数，以Y表示3次中出现正面的次数，求X，Y的联合分布律及(X，Y)的边缘分布律． 解：X的所有可能取值为0，1，2，Y的所有可能取值为0，1，2，3. P{X=0，Y=0}=0.53=0.125; P{X=0，Y=1}=0.53=0.125 11 P{X=1，Y=1}=C20.52?0.5?0.25， P{X=1，Y=2}=C20.52?0.5?0.25 P{X=2，Y=2}=0.53=0.125， P{X=2，Y=3}==0.53=0.125 X，Y 的分布律及边缘分布律可用表格表示如下： Y X 0 1 2 P.j 解法2： P{X?i,Y?j}?P{X?i}P{Y?j|X?i}?C2()()i0 1 2 3 0 0 Pi. 0.25 0.5 0.125 0.125 0 0 0 0.25 0 0.25 0.125 0.125 0.25 0.125 0.375 0.375 0.125 1 12i122?i1?, 2 7．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 i?0,1,2,j?0,1,2,3,j?i?0,1. ?e?y,0?x?y f(x,y)??其它?0,求边缘概率密度fX(x)，fY(y)． ?e?y,0?x?y 解：f(x,y)?? 其它?0,????y?x??edy,x?0?e,x?0 fX(x)??f(x,y)dy?? ??x0,x?0???0,x?0?????y?y?edx, fY(y)??f(x,y)dx???0???0,????ye?y,??0,y?0?y?0y?0 y?0 8．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ?cx2y,x2?y?1 f(x,y)??其它?0,求： (1) 确定常数c (2) 边缘概率密度fX(x)，fY(y)． ?cx2y,x2?y?1 解：f(x,y)?? x?0?0, (1)1???????????1?x44cf(x,y)dxdy???2cxydydx?2c?xdx? ?1x022111212所以 c=21/4 ?? (2) fX(x)????2112?21x2(1?x4)??xydy,|x|?1?,|x|?1 f(x,y)dy??4?x2??8?0，其它?0,其它???5y21?????x2ydx0?y?1?7y2?? fY(y)??f(x,y)dx??4?y??2??00，其它??, 9．设平面区域D由曲线y?0?y?1 其它1及直线y = 0，x = 1，x = e2围成，二维随机变量(X，Y)x在区域D上服从均匀分布，求边缘概率密度fX(x)，fY(y)． 解：SD??e211e2dx?lnx|1?2 x (X，Y)在区域D上服从均匀分布，故f(x，y)的概率密度为 ?1?,(x,y)?D f(x,y)??2?它?0，其1????x1dy,1?x?e2fX（x)??f(x,y)dy???02 ???其它?0,?e21e2?1,??1dx?20?y?e?2?12???111fX（x)??f(x,y)dx???ydx?(?1),e?2?y?1??1 2y?2其它?0,?? 10．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ?3x,0?x?1,0?y?x f(x,y)??其它?0,试求条件概率密度f(y | x)． ?3x,0?x?1,0?y?x 解：f(x,y)?? 0,其它?fY|X(y|x)?f(x,y) (fX(x)?0) fX(x)fX(x)?? 当0 ?????x3x2?f(x,y)dy???03xdy?2,0?x?1 ?0,其它??3x2,0?y?x3xf(x,y)?fY|X(y|x)??? 2fX(x)?其它?0,?2?,0?y?x?1 即，fY|X(y|x)??x ?其它?0,