1. (Gibbons,1992)求出下面策略式博弈的全部纯策略和混合策略纳什均衡; (1)
(2)
(1)纯策略纳什均衡为：(T ,R)和(B ,L)，混合策略纳什均衡为：((4/5,1/5),(0,3/4,1/4)).
(2)纯策略纳什均衡为：(D ,R)，无混合策略纳什均衡。
2. (Gibbons,1992)
考虑下面的策略式博弈
(1)找出这个博弈的可理性化策略。 (2)找出这个博弈的全部纳什均衡。
3. 考虑如下策略式博弈：厂商1和2同时选择产品价格p1和p2，其中，
p1,p2??0,1?，厂商i的利润函数为 ?i(pi,pj)?pi(1?pj?pi) 其中j ≠i，
(1) 假设：(i)厂商1是理性的，(ii)厂商1知道厂商2是理性的，(iii)并且厂商1知道厂商2知道厂商1是理性的。试求厂商1可能的定价范围是多少；
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(2)假设两个厂商的理性是公共知识，那么两个厂商选择的价格应该是多少？将结论与这个博弈的纳什均衡做比较。
4. 两家厂商位于一条长度为1的线段上。他们用同样的技术
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考虑两家厂商竞争一项专利，专利的价值标准化为1。每个厂商
可以投入的成本ci??0,1?，投入成本高的厂商将会得到这项专利，如果两家厂商的投入相同，那么每家厂商或获得0.5的收益。将这个模型表示为一个策略式博弈，并求出该博弈的混合策略纳什均衡。 6
考虑一个有无穷多个参与人的博弈，N={1,2,3,?}，每一个参与人都有两个纯策略：进入(In)和退出(Out)。每个参与人的VNM期望效用函数形式如下： (i) 若该参与人选择的策略为退出，那么不论其他参与人的策略是什么，他的
收益总为0；
(ii) 若该参与人选择进入，且只有有限多的其他参与人选择进入，那么他的收
益为1，但是如果有无限多的参与人选择进入，他的收益为 -1。证明这个博弈不存在纯策略或者混合策略纳什均衡。 (提示：应用概率论中的Borel‐Cantelli引理) 7
说明下列扩展式博弈是否满足“完美回忆”的性质。如果满足的话将其写成策略式博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。
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（1）
（2）
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(1)假设一个家长和他的孩子进行如下博弈：首先，孩子选择行
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考虑如下的两人T期博弈：有一笔存在银行里数目不断增长的现金，在第
t(t =1,2,?,T)期该笔现金的数量为2t。在每一期里面，两个参与人必须同时决定是否将现金从银行取出。如果只有一个人决定将现金取出，那么这个人将得
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到累积到当期的全部现金，而另一个人的收益为0。如果两个人都决定将现金取出，那么他们各得到累积到当期的现金的一半。如果两个人都决定不将现金取出，那么此博弈进行到下一期。如果博弈进行到最一期(第T期)时两个人都决定不将现金取出，那么他们每人得到T的收益。将这个博弈表示为扩展式博弈并找出子博弈完美纳什均衡。
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考虑如下市场进入博弈：厂商2(市场进入者)首先选择是否进入市场。如果厂商2选择不进入(O)，那么厂商1和2的收益为(4,0)。如果厂商2选择进入(I)，并且厂商1选择容纳(A)，那么厂商1和2的收益为(2,2)，如果厂商1选择竞争(C)，那么厂商1和2的收益为(-2,-2)。
(1)将这个博弈表示成策略式博弈和扩展式博弈；
(2)找出这个博弈的全部纳什均衡，说明其中哪个均衡有被占优策略；
(3)假设厂商1面对的进入厂商有九个，分别为厂商2,3,?,10，这些厂商按数字从小到大顺序依次选择是否进入，假设后进入的厂商可以观察到全面厂商的策略，找到一个纳什均衡使得厂商2,3,?,10的策略均为不进入，在这个均衡下哪个厂商采用了被占优策略；
(4)找出这个博弈的子博弈完美纳什均衡，用重复剔除弱被占优策略的方法求出这个博弈的结果。
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考虑如下两人扩展式博弈：
(1)写出此博弈的策略形式；
(2)求出此博弈所有的纯策略纳什均衡；
(3)求出此博弈所有的(包括混合策略)子博弈完美纳什均衡；
(4)找到一个与(3)中所有子博弈完美纳什均衡结果不相同的纳什均衡。 12
考虑如下的海盗分宝石博弈：10个海盗考虑如何分配100颗宝石，他们经过抽签按照编号由1到10的顺序(记为海盗1到海盗10)依次提出分配方案。博弈的规则如下：宝石只能按整数进行分配。海盗1首先提出分配方案，如果有半数或者半数以上的(包括剔除分配方案的)海盗投票表示通过该方案即实施该方案，博弈结束；否则海盗1将被其他海盗投入海中喂鲨鱼，剩下9个海盗继续该博弈。接下来由海盗2提出分配方案，规则与前面相同，若通过则博弈结束，否则海盗2将被喂鲨鱼。依次类推，并且假设所有的海盗在对接受和拒绝分配方案无差异的时候一定会选择拒绝。求出此博弈的子博弈完美纳什均衡，即每一个海盗i的分配方案。 13
两个参与人进行如下竞赛博弈：参与人A和B进行一项竞赛，首先到达终点的参与人为胜利者，胜利者的收益为20，而失败者的收益为0。在竞赛开始时，两人距离终点线均为6步，首先通过投掷硬币的办法决定哪个人先选择行动，在决定行动的次序之后，两个参与人按该顺序轮流选择行动。每次行动都有如下四种选择，其中括号中为该行动给参与人带来的成本：原地不动(成本为0)，向前移动 1步(成本为2)，向前移动2步(成本为7)，向前移动3步(成本为15)。最后，此博弈存在贴现，在每次行动之后，参与人的收益将按折现率δ折现，假设δ是一个非常接近1但小于1的实数。
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