1．1.1 相似三角形判定定理
[对应学生用书P1]
[读教材·填要点]
1．相似三角形的定义及相关概念
如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．设相似三角形对应边的比值为k，则k叫做相似比(或相似系数)．
2．相似三角形判定定理
(1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似． (2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似．
(3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．
[小问题·大思维]
1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？
提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等．
2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？ 提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．
[对应学生用书P1]
相似三角形的判定
[例1] 如图，若O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，
OC的靠近O的三等分点．
求证：△DEF∽△ABC.
[思路点拨] 本题考查相似三角形判定定理2的应用．解答此题
1
需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．利用三等分点找出对应边成比例即可．
11
[精解详析] ∵D，E，F分别是OA，OB，OC靠近点O的三等分点，∴DE＝AB，EF＝BC，
33
FD＝CA.
∴＝＝1
3
DEEFFD1
＝.
ABBCCA3
由三角形相似的判定定理得△DEF∽△ABC.
在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多．
1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证： (1)△BPE∽△CPF； (2)△EFP∽△BCP.
证明：(1)∵BF⊥AC于点F，
CE⊥AB于点E，
∴∠BFC＝∠CEB. 又∵∠CPF＝∠BPE， ∴△CPF∽△BPE.
(2)由(1)得△CPF∽△BPE， ∴＝. 又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.
[例2] 如图所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，求当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC与△CDB相似？
[思路点拨] 由于△ABC与△CDB相似且都是直角三角形，因此，
只要对应边成比例即可．而斜边肯定是三角形的最大边，所以AC一定与BC对应，这里要注意分类讨论的运用．
[精解详析] ∵∠ABC＝∠CDB＝90°，斜边AC与BC为对应边，以下分两种情况讨论．
EPFPBPCP 2
①当AC＝BC时，△ABC∽△CDB，即a＝
bBCBDbBD. ∴BD＝b2
a时，△ABC∽△CDB.
②当ACBC＝ABBD时，△ABC∽△BDC，即aa2－b2
b＝BD.
∴当BD＝ba2－b2
a时，△ABC∽△BDC.
b2ba2BD＝a或BD＝－b2故当a时，
△ABC与△CDB相似．
(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用．(2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 2．如图，BD、CE是△ABC的高． 求证：△ADE∽△ABC.
证明：∵BD、CE是△ABC的高， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°. 又∵∠A＝∠A， ∴△AEC∽△ADB. ∴AD＝AEABAC. 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC.
相似三角形的应用
3
[例3] 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
CF∥BA，BF交AD于点P，交AC于点E.
求证：BP＝PE·PF.
[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD是等腰△ABC底边上的高，所以PB＝PC，从而将所求证的结论转化为PC＝PE·PF.进而可以证明△PCE∽△PFC来解决问题．
[精解详析] 连接PC，在△ABC中， 因为AB＝AC，D为BC中点， 所以AD垂直平分BC. 所以PB＝PC，∠1＝∠2. 因为AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB，
所以∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2， 即∠3＝∠4. 因为CF∥AB，
所以∠3＝∠F，所以∠4＝∠F. 又因为∠EPC＝∠CPF， 所以△PCE∽△PFC，
所以＝，所以PC＝PE·PF. 因为PC＝PB， 所以PB＝PE·PF.
(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．
(2)要说明线段的乘积式ab＝cd，或平方式a＝bc，一般都是证明比例式＝或＝，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．
3．如图所示，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线
2
2
2
2
PCPFPEPC2
adbacbac 4
段BC上，当△ADP与△QCP相似时，求BQ的值．
解：由题知∠D＝∠C＝90°， ①当△ADP∽△PCQ时，＝，
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ADDPPCCQ1113∴＝，∴CQ＝，∴BQ＝1－＝. 1CQ44421
ADDP12
②当△ADP∽△QCP时，＝，∴＝，
QCCPQC1
2∴CQ＝1，∴BQ＝0.
3
综上可知，当△ADP与△QCP相似时，BQ＝0或.
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[对应学生用书P3]
一、选择题
1．如图，锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形的个数是( )
A．1 C．3
解析：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴△ODB，△ABE，△ADC，△OCE都是直角三角形． 又∵∠DBO＝∠EBA，∠A＝∠A，∠DOB＝∠EOC， ∴△ODB∽△AEB∽△ADC，△ODB∽△OEC. ∴与△ODB相似的三角形有3个． 答案：C
2．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，图形中共有x个三角形与△ABC相似，则x的值为( )
A．1 C．3
B．2 D．4 B．2 D．4
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