由模重复平方法，令n=23，b=312，令a=1，将13写成二进制 13=1+22+23
（1）n0=1 ，a0=a*b≡13，b1≡b2≡8（mod23） （2）n1=0 ，a1= a0≡13， b2≡b12≡18（mod23） （3）n2=1 ，a2=a1*b2≡4，b3≡b22≡2（mod23） （4）n3=1 ，a3= a2*b3≡8（mod23） 类似的，我们有
b2≡31213≡4（mod29） 再令m1=23，m2=29，m=m1*m2=667 M1=m2=29，M2=m1=23 分别求解同余式
29M1'≡1（mod23） 23M2'≡1（mod29） 得到M1'=4 M2'=-5
X≡4*29*8-5*23*4≡468（mod667）
14.计算21000000（mod1309） 解：1309=7*11*17
2?(7)≡26≡1（mod7）b1≡21000000≡(26)166666*24≡2（mod7） 2?(11)≡210≡1（mod11）b2≡21000000≡(210)100000≡1（mod11） 2?(17)≡216≡1（mod17）b3≡21000000≡(216)62500≡1（mod17）
令m1=7，m2=11，m3=17，m=m1*m2*m3=1309
M1=m2*m3=187 M2=m1*m3=119 M3=m1*m2=77
187M1'≡1(mod7) 119M2'≡1(mod11) 77M3'≡1(mod17) 得M1'=3 M2'=5 M3'=2
X≡3*187*2+5*119*1+2*77*1≡1122+595+154≡562（mod1309）
Q ` 88888888888888，47
的二次剩余和二次非剩余。
解：37的二次剩余是1，3，4，7，9，10，11，12，16，25，26，27，28，30，33，34，35，36
二次非剩余是2，5，6，8，13，14，15，17，18，19，20，21，22，23，24，29，31，32
47的二次剩余是1，2，3，4，6，7，8，9，12，14，16，17，18，21，24，25，27，28，32，34，36，37，42
二次非剩余是5，10，11，13，15，19，20，22，23，26，29，30，31，35，38，39，40，41 。
1， 求满足方程E：y 2=x3+5x+1（mod 7）的所有点。 解：对x=0，1，2，3，4，5，6，分别求出y x=0时，y 2=1（mod 7），y=1，6（mod 7）， x=1时，y 2=0（mod 7），y=0（mod 7）， x=2时，y 2=5（mod 7）， 无解，
x=3时，y 2=1（mod 7），y=1，6（mod 7），
x=4时，y 2=1（mod 7），y=1，6（mod 7）， x=5时，y 2=4（mod 7），y=2，5（mod 7）， x=6时，y 2=3（mod 7）， 无解。 2， 计算下列勒让德符号：
(1）.（17/37）=(-1) (17-1)(37-1)/(2*2)*(37/17)=-1
（2）. （151/373）=(-1)(151-1)(373-1)/(2*2)*(373/151)=(2*151+71/151) =(71/151)=(-1) (71-1)(151-1)/(2*2)*(151/71) =(-1)*(9/71)= (-1)* (-1) (9-1)(71-1)/(2*2)*(71/9) =(-1)*(-1/9)= (-1)* (-1) (9-1)/2=-1
(3)（191/397）=(-1）(191-1)(397-1)/(2*2) *(397/191)=(2*191+15/191) =15/191=(-1)(191-1)(15-1)/(2*2) *(191/15) =(-1)*(12*15+11/15)=(-1)*(-1/15)*(2/15)2 =(-1)*(-1) (15-1)/2*(-1) 2*(15-1)/8=1 4,判断下列同余方程是否有解。
（1）.因为（7/227）=(-1) (227-1)(7-1)/(2*2)*(227/7)=（-1）*（ 7*32+3/7） =(-1)*(3/7)=(-1)*(-1) (3-1)(7-1)/(2*2)(7/3) =(3*2+1/3)=(1/3)=1 所以,7是227的二次剩余 所以,x2≡7(mod227)有解
(2) x 2≡11(mod 511)
解：11/511=(-1) (511-1)(11-1)/(2*2)*(511/11)=(-1)*(46*11+5/11)
=(-1)* (5/11)= (-1)* (-1) (11-1)(5-1)/(2*2)*(11/5) =(-1)*(2*5+1/5)=(-1)*(1/5)=-1 所以，11不是511的二次剩余 所以，x 2≡11(mod 511)无解。
4.求所有素数p使得5为模p的二次剩余。
解：由题意，（5/p）=1
(5/p）=(-1) (5-1)(p-1)/(2*2) *(p/5)= (p/5) 而(p/5)=1，p≡?1（mod 5） (p/5)=-1，p≡?2（mod 5）
因此，使(p/5)=1的全体素数为p≡?1（mod 5）。
5.利用定理2判断：
（1）-8是不是模53的二次剩余
解：（-8/53）=(-1/53)*(2/53)* (2/53)* (2/53) =(-1) (53-1)/2*(-1) 3*(53*53-1)/8=-1 所以。-8不是53的二次剩余。 （2）8是不是67的二次剩余
解：8/67=(2/67)*(2/67)*(2/67)=(-1)3*(67*67-1)/8=-1 所以，8不是模67的二次剩余。 第五章作业 1、2，5，10（mod 13）的指数 解：（1）2（mod 13）
12的正因数为1，2，3，4，6，12 所以
（2）5（mod 13）
12的正因数为1，
所以
（3）10（mod 13）
12的正因数为1，
所以
2、3，7，10（mod 19） 解：（1）3（mod 19）
12的正因数为1， 所以
（2）7（mod 19）
12的正因数为1，
2，3，4，2，3，4，2，3，6，2，3，6，6，12 6，12 9，18 9，18