低复杂度联合信道估计和块衰落信道的LDPC译码
摘要：本论文主要论述了低复杂度迭代联合信道估计和块衰落信道的LDPC译码算法。归一化最小算法，即比和积算法有更低的复杂度的算法，它主要作为LDPC译码算法而被应用。通过选择最佳归一化因子，我们的算法可以跟使用和积算法得到近似一样的结果。而且跟我们所认知的最佳CSI 也就是信道边界信息只有0.3-0.5db的偏差。
1. 引论
在时变无线信道，接受器通常无法获得正确的信道边界信息CSI。因此，在信道估计前是需要先进行解码的。近些年，随着迭代解码能力越来越接近错误更正码，就像是Turbo码和LDPC码，使得设计更为有效的迭代联合信道估计、解码算法和迭代接收器成为可能。
迭代联合信道估计和解码可以通过因子图建模而得到，这种方法最早是由Wiberg首先使用的。关于设计迭代接收器的统一的框架是由A.Worthern和W.Stark他们两人提出来的。更多的学者诸如H.Niu, M.Shen和J.Chen等等也都致力于在不同信道模型下变量算法的设计和分析。他们中的大多数使用的都是SPA，即和积算法。诸如LDPC解码算法。虽说在加性高斯白噪声信道中，SPA被认为有更出色的性能。这样的结果是在牺牲相对来说较高复杂度的情况下得到的。与此同时，多数基于和积算法的低密度解码算法，正在被越来越多的诸如J.Chen, A.Dholakia等学者所研究。通过一些资料我们可以了解到：在加性高斯白噪声信道中，基于被修改的最小和算法，可以得到非常接近于和积算法的结果。同时维持在一个相对更低的复杂度下。但是，在联合信道估计和解码当中，较低复杂度的解码算法还没有得到完全的开发利用。
在本论文中，我们使用归一化最小和算法，它是被修改的最小和算法的其中一个，就像我们的LDPC解码算法应用于联合信道估计和解码一样。它在块衰落信道中的性能表现与其使用和积算法所得到的结果是相近的。通过仿真结果显示：与它所对应的副本比较，低复杂算法的性能也没有亏损。在解码器中，它只有0.3-0.5db的偏离，满足我们所熟知的理想的信道边界信息。此外，一个更好的用于找到最佳的归一化因数的蒙特卡洛方法也被人们所发现。
本论文的具体结构如下：第一部分是引言；在第二部分介绍一下块衰减信道的建模和一个使用规范最小和算法的低复杂迭代接收器的设计；第三部分介绍了如何选择最优化的归一化因子；第四部分列出了一些仿真的结果；最后第五部分是本论文得到的结论。
2. 低复杂联合信道估计和解码 2.1
块衰落信道模型
在LDPC解码之后，BPSK信号也就是双相移位键控信号将通过块衰落信道而
被传送。假设信道的相位是知道的，而衰落的振幅是可以被估计的。块衰落的离散时域模型可以通过下列公式（1）描述：
信道的容量用l表示，一个码字被分为m块，其中每一个都用符号l表示。在i方向上块衰落的幅度用hi表示，对于l而言它仍然是个常量。每一个块衰落的量级可以通过满足瑞利分布的随机变量E[ hi2 ]=1估计而得到。在加性高斯白噪声信道中使用BPSK调制是允许的。xij 是在i方向上的j方向BPSK变量。nij是附加的均值为0和方差为σ2高斯白噪声。这个模型可以使用对于OFDM或者TDMA系统的实际的无线信道简单的近似法得到。
2.2 衰落等级的估计
由于衰落等级hi 是持续的随机变量，这就导致了它过于复杂而很难仅仅使用归一化和积算法而估计其结果，即使它可以被量化到一个有限的数量级状态。一个可供选择的方法就是极大似然估计ML，或者最大后验概率估计MAP。给出 yi=(yi1,yi2,,,yil)和xi=(xi1,xi2,,,xil),就可得到hi的最大后验概率：
如果之前hi的数据无法使用，那么hi就假设是与其等概率的。然后，按照如下的计算，最大后验概率估计减少到极大似然估计的大小：
2.3 归一化最小和译码算法
尽管对于LDPC码，和积算法被认为是标准的解码算法。由于和积算法的校验节点更新相对来说更为复杂些，许多近似的算法被设计出来。如果我们从m校验节点和n变量节点得到qmn和rmn的信息，而且从n变量节点所得到的信息是独立的。和积算法的校验节点的更新就按照公式（3）中的方式得到：
其中，，它是一个完全的非线性函数。在最小和积算法中，公式（3）是近似的通过避免计算φ(x)而得到的。
强调一下，由于x>0,而且φ-1(x)=φ(x)，所以φ(x)是一个单调递减函数。而且r、mn是一直要比rmn的量级要大的。因此，最小和算法通过应用远大于1的归一因子，能够得到很大的改善。我们称它为归一化最小和算法，而且检查节点更新通过下列公式（5）给出：
与和积算法相比较，归一化最小和算法有更低的复杂度。如果取得一个合适的归一因子，它的性能是非常接近于和积算法的。使用归一化最小和算法的另一
2
个优点是，在初始化过程中，我们不需要知道信噪比SNR和方差σ。因为变量节点更新和检查节点更新都是线性运算。因此，在和积算法中，它只需对y初始化，而不需要对
y初始化。
2.4 低复杂迭代接收器
一个迭代联合信道估计和解码算法可以通过带有信道估计的迭代LDPC解码器设计得到。在每一个迭代中，每一个接受字节的信道似然比LLR是通过之前的信道边界信息估计hi而首先更新的。审判解码的结果通过软件或者硬件输出。解码结果然后被接下来的信道边界信息估计所使用。
整个算法能够通过一组使用LDPC码的块衰落信道因子图模型的消息传递法则呈现出来。一个使用l=3的模型已经在表1中给出。每个黑色的圆是一个校验节点，每一个白色的圆是一个变量节点。其因子图在一个容量较小的信道中与使用LDPC码的结果相同。每一个黑色的正方形代表信道输出码，而且一组l信道输出码是与信道状态码相连接的，它用白色的正方形表示。
表1 使用LDPC码的块衰落因子图
通过使用公式（2）求得的极大似然估计和归一化最小和LDPC解码器，一个
复杂度更低的迭代接收器是可以实现的。注意为了避免在消息传递过程中长度为4的循环，公式（2）得到的极大似然估计是要被修改的。在i方向块上的j符号是不包括在新的估计值当中的。因此，新的极大似然估计可见下式（6）：
迭代接收器现在可以通过如下的在因子图模型上的信息传递算法得到，具体可见如下公式（7）：
在上式中xij是解码器的审判解码输出(+1或者-1)。除了之前提到过的使用归一化最小和算法的校验节点更新，在校验节点和变量解码之间的消息传递与一般的LDPC解码算法相同。
3. 迭代接收器的进一步优化
通过选择一个最理想的归一化因子，归一化最小和算法可以起到与和积算法相当的作用。在加性高斯白噪声信道中，为了找到最优化的归一因子，算法解析和蒙特卡洛仿真方法都得到了应用。一般来说，它取决与码率和该行的奇偶校验检查矩阵和信噪比SNR。选择合理的归一化因子的方式是强制的将平均的归一化最小和的幅度输出等于平均的和积算法幅度的输出。假设校验节点的长度为dC，校验节点更新的输入是独立同分布i.i.d。随机变量{Zi}i=1，2,…dc-1。因此，归一化因子可以通过如下的计算得到：
尽管开发一个更为简单的解析算法是比较困难的，但对于在块衰落信道中的联合估计和解码，使用蒙特卡洛算法仍然可以找到最优化的α，结果相当的理想。由于校验节点的对称性仍然适于用归一化最小和算法，这样一个全零的码字是可以被假定的。
对第一个迭代而言，Zi的概率密度函数能够准确的被我们了解。由于Zi可以被写为公式（9）的形式:
{Hi}是满足锐利分布的独立同分布随机变量，E[H2]=1。{Ni}是均值为0，方差为σ2的高斯随机变量。蒙特卡洛仿真可以通过公式（8）和公式（9）得到。同时，最优的α也可以获得。
在接下来的迭代中，得到正确的Zi是很困难的。当然，我们可以对所有的
迭代都使用普遍的归一化因子。但是，我们可以假设一个更为方便的方法：在几个迭代之后，我们可以估计到准确的信道边界信息，因此，可以通过公式（10）得到Zi：
而且，我们可以同时得到一个新的最优归一化因子。在所有的迭代之后，得到最新的α就可以被应用了。
对于dC=11时，最优的归一化因子可以经由一系列的信噪比，通过公式（9）和（10）得到。α1和α2可以各自独立的得到参照表格2。
表2—dC=11时最优的归一化因数
4. 仿真结果
我们仿真时使用一个长度为N=2040、码率R=0.69和dC=11的LDPC码。用两个独立的l=10和l=20的块衰落信道。我们通过表2的结果选择最优的归一化因数，分别为α1=1.18和α2=1.35。需要指出的是为了让算法尽可能的简单，我们使用α1和α2具有不同的信噪比。因此，对σ2的估计是没有必要的。
信道边界信息的均方误差MSE是在第一个和第二个迭代之后。详细可见表3的相关内容。