限时规范训练十六 圆锥曲线的定义、性质，直线与圆锥曲线
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
限时40分钟，实际用时
分值80分，实际得分
1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
259－k25－k9A．焦距相等 C．虚半轴长相等
B．实半轴长相等 D．离心率相等
x2y2x2y2
解析：选A.由25＋(9－k)＝(25－k)＋9，知两曲线的焦距相等．
2．(2017·宁夏银川质检)抛物线y＝8x的焦点到双曲线x－＝1的渐近线的距离是( )
31A. 2C．1
2
2
2
y2
B.3 2
D.3
解析：选D.由抛物线y＝8x，有2p＝8?p＝4，焦点坐标为(2,0)，双曲线的渐近线方程为y|3×2－0|
＝±3x，不妨取其中一条3x－y＝0，由点到直线的距离公式，有d＝＝3，故选
3＋1D.
x2y25x2y2
3．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1
ab2123
有公共焦点．则C的方程为( )
A.－＝1
810C.－＝1 54
x2y2
B.－＝1 45D.－＝1 43
5b5x，则＝， 2a2
①
x2y2x2y2
x2y2
解析：选B.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝
又∵椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，易知c＝3，则a＋b＝c＝9， ②
123由①②解得a＝2，b＝5，则双曲线C的方程为－＝1，故选B.
45
4．已知抛物线y＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的
79交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 C．16
B．8 D．32
2
x2y2
222
x2y2
x2y2
- 1 -
解析：选D.因为抛物线y＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点(4,0)重合，所以p＝
798.设A(m，n)，
又|AK|＝2|AF|，所以m＋4＝|n|， 又n＝16m，解得m＝4，|n|＝8， 1
所以△AFK的面积为S＝×8×8＝32.
2
5．(2017·安徽合肥模拟)已知双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右
3→→
支上一点，则PA1·PF2的最小值为( )
A．－2 C．1
81B．－
16D．0
2
2
2
x2y2
y2
解析：选A.设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x－1，y＝3(x3－1)，
y2
222
PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)
＝(x＋1)(x－2)＋y＝x＋3(x－1)－x－2
2
2
2
→→
?1?812
＝4x－x－5＝4?x－?－，其中x≥1.
?8?16
因此，当x＝1时，PA1·PF2取得最小值－2，选A.
→
→
2
x2y2
6．(2017·浙江宁波模拟)点A是抛物线C1：y＝2px(p＞0)与双曲线C2：2－2＝1(a＞0，bab2
＞0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于( )
A.2 C.5
B.3 D.6
解析：选C.取双曲线的一条渐近线为y＝x，
bay＝2px，??联立?by＝x??a2
2
??b??2pay＝??b，2pax＝2，2
?2pa2pa?故A?2，?.
b??b因为点A到抛物线C1的准线的距离为p.
- 2 -
p2pa2
所以＋2＝p，
2ba21所以2＝.
b4
c所以双曲线C2的离心率e＝＝aa2＋b2
＝5. a22
x22
7．(2017·山东德州一模)已知抛物线y＝8x与双曲线2－y＝1(a＞0)的一个交点为M，Fa为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．5x±3y＝0 C．4x±5y＝0
2
B．3x±5y＝0 D．5x±4y＝0
解析：选A.抛物线y＝8x的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，设M(m，n)，则由抛物线
x2
的定义可得|MF|＝m＋2＝5，解得m＝3，由n＝24，可得n＝±26.将M(3，±26)代入双曲线2
a2
9352
－y＝1(a＞0)，可得2－24＝1(a＞0)，解得a＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即5x±3ya53＝0.故选A.
x2y2
8．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，
abB分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
1A. 32C. 3
1B. 23D. 4
解析：选A.由题意可知直线AE的斜率存在，设为k，直线AE的方程为y＝k(x＋a)，令x＝0可得点E坐标为(0，ka)，所以OE的中点H坐标为?0，?，又右顶点B(a,0)，所以可得直线
2??
?
ka?y＝kx＋a，??kkkBM的斜率为－，可设其方程为y＝－x＋a，联立?kk222y＝－x＋a，?22?a1又点M的横坐标和左焦点相同，所以－＝－c，所以e＝. 33
可得点M横坐标为－，
3
a9．已知双曲线的标准方程为－＝1，F为其右焦点，A1，A2分别是实轴的左、右端点，设
916
x2y2
P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x＝a分别交于M，N两点，若FM·FN＝0，则a的值为( )
→→
- 3 -