曲一线科学备考
∴
所以线段MN与曲线f(x)有异于M, N的公共点-6), 得m-n=-3. ①
由f(x)=x3+mx2+nx-2, 得f '(x)=3x2+2mx+n, 则g(x)=f '(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n,
. 32. (Ⅰ)由函数f(x)图象过点(-1,
而g(x)图象关于y轴对称, 所以-代入①式得n=0.
于是f '(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f '(x)>0得x>2或x<0, =0, 所以m=-3,
故f(x)的单调递增区间是(-∞, 0), (2, +∞);
由f '(x)<0得0 当x变化时, f '(x)、f(x)的变化情况如下表: x f '(x) f(x) 由此可得: 当0 当1 综上得:当00), (-∞, 0) + ↗ 0 0 极大值 (0, 2) - ↘ 2 0 极小值 (2, +∞) + ↗ 第16页 / 共 50页 曲一线科学备考 ∴当x=-t时, f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1, 即h(t)=-t3+t-1. (Ⅱ)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m, 由g'(t)=-3t2+3=0得t=1, t=-1(不合题意, 舍去). 当t变化时g'(t)、g(t)的变化情况如下表: t g'(t) g(t) (0, 1) + 递增 1 0 极大值1-m (1, 2) - 递减 ∴g(t)在(0, 2)内有最大值g(1)=1-m. h(t)<-2t+m在(0, 2)内恒成立等价于g(t)<0在(0, 2)内恒成立, 即等价于1-m<0, 所以m的取值范围为m>1. 34.(Ⅰ)由因为直线l与抛物线C相切, 所以Δ=(-4)2-43(-4b)=0, 解得b=-1. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知b=-1, 故方程(*)即为x2-4x+4=0, 解得x=2, 代入x2=4y, 得y=1, 故点A(2, 1). 因为圆A与抛物线C的准线相切, 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离, 即r=|1-(-1)|=2, 所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 35.(Ⅰ)将(1, -2)代入y2=2px, 得(-2)2=2p21, 所以p=2. 故所求的抛物线C的方程为y2=4x, 其准线方程为x=-1. (Ⅱ)假设存在符合题意的直线l, 其方程为y=-2x+t, 得x2-4x-4b=0, (*) 由得y2+2y-2t=0. 第17页 / 共 50页 曲一线科学备考 因为直线l与抛物线C有公共点, 所以Δ=4+8t≥0, 解得t≥-. 另一方面, 由直线OA与l的距离d=1∈ , 可得=, 解得t=±1. 因为-1?, 所以符合题意的直线l存在, 其方程为2x+y-1=0. 36.解法一:(Ⅰ)由已知得, 椭圆C的左顶点为A(-2, 0), 上顶点为D(0, 1), ∴a=2, b=1. 故椭圆C的方程为+y2=1. (Ⅱ)直线AS的斜率k显然存在, 且k>0, 故可设直线AS的方程为y=k(x+2), 从而M . 由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0. 设S(x1, y1), 则(-2)2x1=, 得x1=, 从而y1=, 即S. 又B(2, 0), 故直线BS的方程为y=-(x-2). 由得 ∴N. 故|MN|=. 又k>0, ∴|MN|=+≥2=, 第18页 / 共 50页 曲一线科学备考 当且仅当=, 即k=时等号成立. ∴k=时, 线段MN的长度取最小值. (Ⅲ)由(Ⅱ)可知, 当MN取最小值时, k=. 此时BS的方程为x+y-2=0, S, ∴|BS|=. 要使椭圆C上存在点T, 使得△TSB的面积等于, 只需点T到直线BS的距离等于在平行于BS且与BS距离等于设直线l':x+y+t=0, 的直线l'上. , 所以T则由=, 解得t=-或t=-. ①当t=-时, 由得5x2-12x+5=0. 由于Δ=44>0, 故直线l'与椭圆C有两个不同的交点; ②当t=-时, 由得5x2-20x+21=0. 由于Δ=-20<0, 故直线l'与椭圆C没有交点. 综上所述, 当线段MN的长度最小时, 椭圆上仅存在两个不同的点T, 使得△TSB的面积等于. 解法二:(Ⅰ)同解法一. 第19页 / 共 50页 曲一线科学备考 (Ⅱ)设S(x0, y0), 则+=1, ∴=1-. 故kSA2kSB=2==-. 设M, N , 则yM>0, yN<0. 则kSA2kSB=2==-, ∴yM2(-yN)=. 故|MN|=yM+(-yN)≥2=, 当且仅当yM=(-yN)=时等号成立. 即MN的长度的最小值为. (Ⅲ)由(Ⅱ)可知, 当MN取最小值时, N∵B(2, 0), ∴kBS=kBN=-1. . 此时BS的方程为x+y-2=0, S, ∴|BS|=. 设与直线BS平行的直线方程为x+y+t=0. 由得5x2+8tx+4t2-4=0. . 当直线与椭圆C有唯一公共点时, 有Δ=64t2-20(4t2-4)=0, 解得t=± 当t= 时, 两平行直线BS:x+y-2=0与l1:x+y+=0间的距离d1=; 第20页 / 共 50页