北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2016.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．设集合A?{x|x?1}，集合B?{a?2}，若A?B??，则实数a的取值范围是（ ） （A）(??,?1]
2. 下列函数中，值域为R的偶函数是（ ）
（A）y?x2?1 （B）y?ex?e?x （C）y?lg|x| （D）y?x2
3. 设命题p：“若sin??，则??”，命题q：“若a?b，则
12π6（B）(??,1] （C）[?1,??) （D）[1,??)
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?”，则（ ） ab
（A）“p?q”为真命题 （B）“p?q”为假命题 （C）“?q”为假命题 （D）以上都不对
2{an}为等比数列”的（ ）4. 在数列{an}中，“对任意的n?N*，an ?1?anan?2”是“数列
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A）16?23 （B）16?25 （C）20?23 （D）
正(主)视图
2 侧(左)视图
2 20?25 1 1 俯视图
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?y?x≤1,?6. 设x，y满足约束条件?x?y≤3, 若z?x?3y的最大值与最小值的差为7，则实数m??y≥m,?（ ）
1133 （A） （B）? （C） （D）?
2244
7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：
不超过4千米的里程收费12元; 超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）； 当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元. 相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）1处应填（ ） 为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中○1 （A）y?2[x?]?4
21 （B）y?2[x?]?5
21 （C）y?2[x?]?4
21 （D）y?2[x?]?5
2
开始 输入x 是 1 ○x?4否 y=12 输出y 结束 CF?2BF.8. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE?2AE，
????????如果对于常数?，在正方形ABCD的四条边上，有且只有6个不同的点P使得PE?PF=?成立，
那么?的取值范围是（ ） （A）(0,7) （B）(4,7) （C）(0,4) （D）(?5,16)
A B E F
D P C
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第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z满足z(1?i)?2?4i，那么z?____.
10．B，C所对的边分别为a，b，c. 若A?B，a?3，c?2，在?ABC中，角A，则cosC?____.
x2y211．双曲线C：??1的渐近线方程为_____；设F1,F2为双曲线C的左、右焦点，P为C
164上一点，且|PF1|?4，则|PF2|?____.
12．如图，在?ABC中，?ABC?90?，AB?3，BC?4，点O为BC的中点，以BC为直径的半圆与AC，AO分别相交于点M，N，则AN?____；
13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴
趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）
AM? ____. MCA NM B O C ?64, x≤0,14. 某食品的保鲜时间（单位：t 小时）与储藏温度x（单位：C）满足函数关系t??kx?62, x?0.??
且该食品在4C的保鲜时间是16小时.
已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： 1 该食品在6?C的保鲜时间是8小时； ○
2 当x?[?6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少； ○
3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○
4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. ○
其中，所有正确结论的序号是____.
?
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三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?cosx(sinx?3cosx)?3，x?R. 2（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）设??0，若函数g(x)?f(x??)为奇函数，求?的最小值.
16．（本小题满分13分）
甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下： 甲 乙 6 7 6 9 9 9 y x （Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率； （Ⅱ）如果x?y?7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值.（结论不要求证明）
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，?BCD?135?，侧面PAB?底面ABCD，?BAP?90?,AB?AC?PA?2, E,F分别为BC,AD的中点，点M在线段PD上.
（Ⅰ）求证：EF?平面PAC；
（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME//平面PAB； （Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线
ME与平面ABCD所成的角相等，求
PM A
B E
D
PM的值. PDF C
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18．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?x?1，函数g(x)?2tlnx，其中t≤1．
（Ⅰ）如果函数f(x)与g(x)在x?1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值； （Ⅱ）如果曲线y?f(x)与y?g(x)有且仅有一个公共点，求t的取值范围．
19．（本小题满分14分）
2x2y233已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，点A(1,)在椭圆C上.
2ab2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分13分）
在数字1,2,?,n(n≥2)的任意一个排列A：a1,a2,?,an中，如果对于i,j?N?,i?j，有
ai?aj，那么就称(ai,aj)为一个逆序对. 记排列A中逆序对的个数为S(A).
如n=4时，在排列B：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则S(B)?4.
（Ⅰ）设排列 C：3, 5, 6, 4, 1, 2，写出S(C)的值；
（Ⅱ）对于数字1，2，?，n的一切排列A，求所有S(A)的算术平均值；
（Ⅲ）如果把排列A：a1,a2,?,an中两个数字ai,aj(i?j)交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A?：b1,b2,?,bn，求证：S(A)?S(A?)为奇数.
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