高考二轮小专题 ：圆锥曲线题型归纳
基础知识：
1．直线与圆的方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式； 3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：a、b、c、e、p、渐近线。 基本方法：
1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；
2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；
3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的
根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；
4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率
公式一个共五个等式；
5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、
坐标问题；
基本思想：
1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；
4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题
x2y2例. 【浙江理数】设F1、F2分别为双曲线2?2?1,（a>0、b>0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，
ab满足PF2?F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A.案】C
B.
C.
D. 【答
例. 【辽宁文数】设双曲线的一个焦点为么此双曲线的离心率为（ ）
，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那
A. B.案】D
C. D. 【答
?11x2y2例．（14分）已知椭圆2?2?1(a?b?0).过点（2，—1）且方向向量为a?(,?)的直线L交椭圆与A、B
22ab两点。
⑴若线段AB的中点为M，求直线OM的斜率（用a、b表示）； ⑵若椭圆的离心率为3，焦距为2，求线段AB的长； 3⑶在⑵的条件下，设椭圆的左焦点为F1，求?ABF1的面积。
点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 二、“是否存在”问题
例．（14分）已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45度的直线L，交抛物线y2?2px（p>0）于B、C两点，且线段BC长为210。
（I）求抛物线的方程；
（II）在（I）中的抛物线上是否存在点D，使得DB=DC成立？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。
（答：y2?2x。存在点D（2，2）或（8，-4））
例. 【北京理数】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
三、过定点、定值问题 例、（14分）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，?ABC的三个顶点都在抛物线上，且?ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线L的方程为4x+y-20=0.
(Ⅰ)求抛物线S的方程;
(Ⅱ)若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足OP?OQ。试说明动直线PQ是否过一个定点。 （答：y?16x，定点为M（16，0））
2x2y2例.(14分)已知椭圆C：2?2?1（a>b>0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角
ab形。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
????????????????(Ⅱ)过点Q（—1，0）的直线L交椭圆于A、B两点，交直线x = —4于点E，设AQ??QB，AE??EB。
求证：???为定值，并计算出该定值。
点评：距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的，比如向量中的比例以坐标转化，比如抛物线中焦半径与到准线距离的转化。
例．（14分）过抛物线y?4ax（a>0）的焦点F作任意一条直线分别交抛物线于A、B两点，如果?AOB（O为
2S23原点）的面积是S，求证：为定值。（答：a）
AB点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。 四．最值问题
例．（14分）定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2?x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最
短距离，并求此时点M的纵坐标。（答：最短距离为
52，M的纵坐标为?） 42点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用
切线的方法、利用均值不等式的方法等。 五、求参数范围问题。
常用思路：寻找不等式。将各限制条件都列出，再求交集。不要遗漏限制条件。 常用建立不等式的途径：
(1) 直线与曲线有交点时判别式大于等于零； ⑵ 圆锥曲线中变量X、Y的取值范围；
⑶ 点与曲线的位置关系，如弦的中点在曲线内部； ⑷ 已知题设中有的范围；
⑸ 正弦函数、余弦函数的有界性； ⑹ 均值不等式；
⑺ 焦半径的取值范围； ⑻ 函数的值域;
⑼ 三角形图形中两边之和大于第三边。
x2?例：1.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆5x2?2．【福建文数】若点O和点F分别为椭圆4的最大值为（ ）
y2?1恒有公共点，则t的取值范围为_________.（答：?1,5? t????????y2?1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP?FP3A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C（利用圆锥曲线中变量X、Y的取值范围；）
x2y23．设a>1，则双曲线2??1的离心率e的取值范围为_________;（答：
a(a?1)2?2,5）
?x2y24．若F1、F2是双曲线2?2?1的左右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若?ABF2ab为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为____________;（答：1,1??2）
?x2y2??1上的任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，则MF1?MF2的最大值为____;5.若M是椭圆94（答：9）（利用均值不等式）
6．若点P是抛物线y?2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到准线的距离之和的最小值为__________;（答：六、规范解题
解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：
217）（利用三角形两边之和大于第三边） 2一设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=mmy+n的区别）二设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
三则联立方程组；四则消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB为直径的圆过点0”?OA?OB ?K1?K2??1（提醒：需讨论K是否存在）?????????OA?OB?0? x1x2?y1y2?0
②“点在圆内、圆上、圆外问题”?“直角、锐角、钝角问题”
?“向量的数量积大于、等于、小于0问题”?x1x2?y1y2>0；
③“等角、角平分、角互补问题”?斜率关系（K1?K2?0或K1?K2）；
???????? ④“共线问题”（如：AQ??QB ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；
（如：A、O、B三点共线?直线OA与OB斜率相等）；
⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”
；六则化简与计算； ?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）
七则细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0. 七、站在系统的高度探究问题的本原
“直线与圆锥曲线的位置关系”中文科主要考察“直线与抛物线”，这里就仅举直线与抛物线的位置关系为例。 请证明以下命题：
2案例一：抛物线y?2px（p>0），过焦点F（
p，0）作一条弦AB交抛物线于A、B两点，其中A（x1，y1）、B2（x2，y2）。如图 （一） 有关定值问题：
p2,y1y2??p2； （1）x1x2?4（2）kOA?kOB??4
????????32（3）OA?OB??P
4（4）
112??； FAFBP111； ??ABCD2P（5）过抛物线的焦点作两条垂直的弦AB，CD，则
（二） 与数列有关的问题
（1） AB为焦点弦，T为准线上任意一点，则TA、TF、TB的斜率成等差数列；
（2） AB为焦点弦，过点A、B的切线相交于点M，则MA、MF、MB成等比数列；
（三） 有关圆的问题
（1） 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；以A1B1为直径的圆与抛物线的弦AB相切； （2） 以AF为直径的圆与y轴相切；以BF为直径的圆与y轴相切；
（3） 其中性质（1）?抛物线的准线与x轴的交点E在以AB为直径的圆外。 （四） 有关共线问题
（1）A、O、B1三点共线； （2）B、O、A1三点共线； （五） 有关平分问题：
EF平分?AEB?KAE?KBE?0 （六） 有关面积问题
223SS?P2P?A1FB1?4； ?； （2）OAB?；（3）
S?S2sin?AB8?FBB1?FAA1（1）S?OAB（七）有关定点问题
符合以上任一条性质的弦AB过一定点F（即抛物线的焦点）。
案例二：抛物线y2?2px（p>0），过点P（2p，0）作一条弦AB交抛物线于A、B两点，其中A（x1，y1）、B（x2，y2）。则
（一）OA?OB；
（二）以AB为直径的圆经过原点；
（三）S?OAB的最小值为4p2，此时AB?x轴； （四）当AB?x轴时，以AB为直径的圆的面积最小；
222（五）过O作OM?AB，垂足为M，则M点必在一个圆的圆周上；（答：(x?p)?y?p，除原点外）； 2案例三：抛物线y?2px（p>0），过点M（p，0）作一条弦AB交抛物线于A、B两点，其中A（x1，y1）、B（x2，
。 y2）
????????2（一）OA?OB??P；
（二）
1MA2?1MB2?1； P2（三）
2S?A1FB1S?FBB1?S?FAA1?4。