线性规划
【简单线性规划问题】（用平面区域表示二元一次不等式组） 【二元一次不等式表示的平面区域】
二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式ax+by+c＜0表示的是另一侧的平面区域。 【线性约束条件】
关于x，y的一次不等式或方程组成的不等式组称为x，y的线性约束条件； 【线性目标函数】
关于x、y的一次式欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做线性目标函数； 【线性规划问题】
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。 可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解；由所有可行解组成的集合称为可行域； 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解。 【用一元一次不等式（组）表示平面区域】
(1)一般地，直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax+by+c=0；②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax+by+c>0;③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax+by+c<0．所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0+by0+c的值的正负，即可判断不等式表示的平面区域，可简称为，特殊点定域”． (2)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 【线性规划问题求解步骤】 （1）确定目标函数； （2）作可行域；
（3）作基准线（z=0时的直线）； （4）平移找最优解； （5）求最值。
【线性规划求最值线性规划求最值问题】
（1）要充分理解目标函数的几何意义，诸如直线的截距、两点间的距离（或平方）、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等．
(2)求最优解的方法①将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的点为最优解，②利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线数的斜率k满足
，且目标函
的交点一般为最优解．在求最优解前，令z=0的目的是
确定目标函数在可行域的什么位置有可行解，值得注意的是，有些问题中可能要求x，y∈N（即整点），它不一定在边界上．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行（
）时，其最优解可
能有无数个，用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．可先将题目的量分类，列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组），寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数． 【线性规划的实际应用】 主要掌握两种类型：
一、给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大； 二、给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．
(l)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．
(2)整数规划的求解，可以首先放松可行解必须为整数的要求，转化为线性规划求解，若所求得的最优解恰为整数，则该解即为整数规划的最优解；若所求得的最优解不是整数，则视所得非整数解的具体情况增加条件；若这两个子问题的最优解仍不是整数，再把每个问题继续分成两个子问题求解，??，直到求出整数最优解为止，
【2017年高考全国Ⅲ卷，理13】
?x?y?0?若x，y满足约束条件?x?y?2?0，则z?3x?4y的最小值为__________.
?y?0?【答案】?1
【考点】应
用线性规划求最值
【点拨】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上的截距最大时，
z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最
小，在y轴上的截距最小时，z值最大.
答题思路
【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查不等式组表示平面区域的分法，目标函数的几何意义，直线系方程，等价转化思想和数形结合思想.
【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是找线性目标函数；一种是非线性目标函数．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，准确找到可行域，利用目标函数的几何意义确定函数取得最值的点是关键，这是备考中应该注意的方面.
【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：
第一步：明确题中不等式组所表示的可行域范围 解决本问题的基础和关键是找到不等式组确定的平面区域，由所给的不等式组结合直线的交点坐标绘制出可行域是解决本题的基础；
第二步：将所求解的目标函数的几何意义在平面直角坐标系中进行表示 题中的目标函数z转化为目标函数在坐标轴上的截距：目标函数即y?31131x?z，注意到直线系的截距为?z，易知直线y?x?z在44444y轴上的截距最大时，目标函数z?3x?4y取得最小值.
第三步：求解目标函数的最值 通过平移直线系找到目标函数点A?1,1?处取得最小值，代入目标函数即可得到zmin?3?1?4?1??1. 【方法总结】
1、相关术语：
（1）线性约束条件：关于变量x,y的一次不等式（或方程）组 （2）可行解：满足线性约束条件的解?x,y? （3）可行域：所有可行解组成的集合 （4）目标函数：关于x,y的函数解析式
（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、如何在直角坐标系中作出可行域：
（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线
（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况： ① 竖直线x?a或水平线y?b：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断
② 一般直线y?kx?b?kb?0?：可代入?0,0?点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式x?2y?3?0，代入?0,0?符合不等式，则x?2y?3?0所表示区域为直线x?2y?3?0的右下方
③ 过原点的直线y?kx?k?0?：无法代入?0,0?，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。例如：y?x：直线y?x穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点x?0,y?0，所以必有y?x，所以第四象限所在区域含在y?x表示的区域之中。
（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件F?x,y??0（或F?x,y??0）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件F?x,y??0（或F?x,y??0）边界能取值时，在图像中边界用实线表示
3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤
（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域
（2）确定目标函数z在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设a,b为常数） ① 线性表达式——与纵截距相关：例如z?ax?by，则有y??azx?，从而z的取值与动直线的纵截bb距相关，要注意b的符号，若b?0，则z的最大值与纵截距最大值相关；若b?0，则z的最大值与纵截距最小值相关。
② 分式——与斜率相关（分式）：例如z?斜率。
③ 含平方和——与距离相关：例如z??x?a???y?b?：可理解为z是可行域中的点?x,y?与定点?a,b?22y?b：可理解为z是可行域中的点?x,y?与定点?a,b?连线的x?a距离的平方。
（3）根据z的意义寻找最优解，以及z的范围（或最值）
4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。 （1）在斜率符号相同的情况下：k越大，则直线越“陡”
（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确
（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）
（4）目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究。当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.
真题练习
?x?2y?1?【2017年高考全国Ⅰ卷，理14】设x，y满足约束条件?2x?y??1，则z?3x?2y的最小值为_______．
?x?y?0??x?2y?1?【答案】?5不等式组?2x?y??1表示的平面区域如图所示
?x?y?0?