习 题
14-1 机器的基础放在有弹性的地基上，如机器连同基础的总质量M=90t，基础的底面积A=15m2，地基的刚性系数k=?A，其中??29.4?10?3N/mm3。试求机器自由振动的周期。
T?2π?n?2πm k90?103?2π?0.0898s 629.429.4?10
14-2 均质细长杆重W、长为l，O处铰支，在A、C处与刚性系数为k的弹簧相连，如图14-21所示。如杆在铅垂面内做微小振动，试求此系统的固有频率。
图14-21
平衡时
?MO?01k?stl?k?stl?Wl?Wl?0
23Wl 4kl?st?任意位置
1???2k(?st?l?)l?Wl?Wl??2kl2? JO?2JO?1lm(3l)2?m()2?m(2l)2?5ml2 122????2kl2? 5ml2?2k??0 5m2k2kg ???5m5W
14-3 重为W的物体悬挂于不可伸长的绳子上，绳子跨过定滑轮与刚性系数为k的弹簧????相连, 如图14-22所示。设均质滑轮重也为W，半径为r，绕水平轴O转动。试求此系统自由振动的周期。
图14-22
平衡时
?MO?0k?str?Wr?0 k?st?W
Ek1?0
任意位置
Ek2??12112y32??(mr)()2?my? my222r4- 1 -
112k[?st?(?st?y)2?Wy]??ky2 22321???ky2 my423 my?????kyy? y22k ???yy?0
3m?WF? ?n? T?2k2kg ?3m3W2π?n?2π3W 2kg
14-4 均质圆柱体重为W，半径为r，在半径为R的圆柱形槽内作纯滚，如图14-23所示。试求圆柱体在槽内最低位置附近作微小滚动的周期。
图14-23
τ maC?F?mgsin? (1) τ12aC mr(?)?Fr
2r1τ maC??F (2)
2两式联立求得
3τ maC??mgsi?n
23????mgsin? m(R?r)?2????2gsin??0
3(R?r)在槽内最低位置附近作微小滚动
sin???
????2g??0
3(R?r)?n?T?
2g
3(R?r)2π?n?2π3(R?r) 2g14-5 车辆竖向振动的加速度不宜超过1m/s2，否则乘客感觉不舒服。若车厢弹簧组的静
压缩为240mm，试求系统自由振动振幅的最大允许值。
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?n?g ?st2amax?A?n?Ag?st
A?
amax?st1?0.24??24.49?10?3m?24.49mm g9.814-6 如图14-24所示，在荷重W的作用下，梁中部的静挠度为2mm。不计梁的质量，试求在下列两种情形下重物的运动方程以及梁的最大挠度：
(1)重物W放在未弯曲时的梁上释放，其初速为零； (2)重物W初速为零，从100mm高度落到梁上。
图14-24
?n?g?st?9.8?4900?70 ?32?10(1)
设 x?Asin(70t??) t=0时 x0??2?0?0 x A?x?202v02?n?2?xπ??arctann0??
v02πx?2sin(70t?)
2wmax?4mm
(2)
设 x?Asin(70t??) t=0时 x0??2 A??0?2gh?2?9.8?0.1?1.4m/s?1400mm/s xx?20140022?(?2)?()?404?20.10mm 2?n702v0?x70?(?2)??arctann0?arctan??arctan0.1
v01400x?20.10sin(70t?arctan0.1)
wmax?22.10mm
14-7 重W的小车在以匀速v0沿斜坡下降时，由于绳索嵌入滑轮夹子内，使绳索上端突
然被夹住；不计绳索质量，试求此后小车的振动规律及绳索中的最大拉力。设绳索的刚性系数为k。
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?n?kkg ?mW?0?v0 x?v02v02?nt=0时 x0?0 A?x?20?n?v0W?x ??arctann0?0 kgv0x?v0Wkgsin(t) kgWW kgFmax?Wsin??kxmax?Wsin??kv0
14-8 一振动系统具有线性阻尼，已知m=20kg，k=6kN/m，c=50N·s/m；试求衰减振动的周期和对数减幅系数。
??T?Td?n?n2π?c50??0.07217
2mk220?6000?n?2πT?m20?2π?0.3628s k60000.36281?0.0721721??2?0.3647s
因此对数减幅系数为
??nTd?
c50Td??0.3647?0.4559 2m2?2014-9 弹簧上悬挂质量m=6kg的物体，物体无阻尼自由振动的周期T=0.4?? s，而在线性阻尼时的自由振动的周期Td=0.5? s。设开始时弹簧从平衡位置拉长40mm，而物体被自由释放，试求重物的运动规律，并求当速度等于10mm/s时的阻力。
T?Td?2π?n?2πTm?0.4π ?n?5 k?0.5π
0.4π1??222?0.5π ??1?0.8?0.36 ??0.6
1??2??n?n n???n?0.6?5?3
2?d??n?n2?52?32?4
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x?Ae?ntsin(?dt??)
因 x0?4020v0?0
(v0?nx0)2(3?40)2(3?40)222A?x??40?2?40??402?302?50 2222?n?n5?34??arctan40?44?arctan
0?3?403x?50e?3tsin(4t?arctan当v=10mm/s时
4)mm 3Fc?cv?2nmv?2?3?6?10?10?3?0.36N
14-10 一台重1.6kN的电动机用四个刚性系数k=0.15kN/mm的弹簧支持，只能在铅垂方向运动。转子的不平衡重为0.3N，且距转轴为150mm。分别就n=0和n=0.2?n两种情况，试求：（1）发生共振时的角速度；（2）转速为1200r/min时的振幅。 (1) n=0
4k4?0.15?106?9.8?c??n???3675?60.62rad/s
m1600转速为1200r/min时 ??π?1200?40πrad/ s30F0?0.320.3e???0.15?(40π)2?72.51N g9.872.51?9.8F0/mh1600B?2?2??0.03666?10?3m?0.03666mm 222|?n??||?n??||3675?(40π)|(2) n=0.2?n
Td?T1??2?0.5π
0.4π1??222?0.5π ??1?0.8?0.36 ??0.6
??n?n n???n?0.6?5?3
22?c??n?2n2??n?2(0.2?n)2?0.92?n?58.14rad/s
B?h2(?n??2)2?4n2?2?72.511 ?9.8?22221600[3675?(40π)]?4?0.2?n?(40π)- 5 -