处理球的“内切”“外接”问题
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题
例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为
h3h ( h为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中Rt?OBE建立44棱长与半径之间的关系。
例2．设棱锥M?ABCD的底面是正方形，且MA?MD，MA?AB，如果?AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
（满足条件的球最大半径为2?1.）
练习：一个正四面体内切球的表面积为3?，求正四面体的棱长。（答案为：2）
【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。 二、球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。 如图3，截面图为正方形
图3
图4
图5 图1
EFGH的内切圆，得R?a； 22． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R?2a。 23． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得，圆O为矩形AA1C1C的外接圆，易得R?A1O?3a。 2例3.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA?PB?PC?a,那么这个球的表面积是______.
练习：一棱长为2a的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不
3至于变形时的球的体积。（答案为V?4?2a?3?63a） 2
4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例4.已知三棱柱ABC?A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
（?S1:S2?R1:R2?5:1，V1:V2?55:1）
练习：正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：42R）
【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。
222四、近几年高考及高考摸拟中球与几何体的切接问题
1、棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）
A．2 2 B．1
C．1?2 2 D．2
2、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A．
3、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为_________
4、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为（ ）
5、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________
6、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_________
7、已知球面上四点A、B、C、D，DA?平面ABC，AB?BC，DA=AB=BC=3，则球的体积等于_________
33333 B． C． D．
341248、若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）
(A)
2322 (B) (C) (D)
33639已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA?平面ABC，AB?BC，SA?AB?1，BC?2，则球O的
表面积等于
（A）4? （B）3? （C）2? （D）?
10已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( ) (A)
11平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为 ( )
（A）6π （B）43π （C）46π （D）63π
12已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上,?ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,
且SC?2;则此棱锥的体积为( )
A．
13若一个正方体的表面积为S1，其外接球的表面积为S2，则
832343 (B) (C) 23 (D) 3332 6B．3 6C．
2 3D．
2 2S1?____________. S2