高考直通车·2014届高考数学一轮复习备课手册
第29课 三角函数的最值问题
一、教学目标
1．会通过三角恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种三角函数形式（即
，然后借助于三角函数的图像和性质，求三角函数的f(x)?Asin(?x??)?B）最值和值域；
2．能利用换元、求导、数形结合等方法求三角函数的最值和值域。 二、基础知识回顾与梳理 1、函数f(x)?sinx,x?[
??,]的值域为 63【教学建议】本题主要是帮助学生回顾三角函数的图像和性质，并进一步让学生知道连续函数的最大值和最小值不一定在端点处取得！ 2、函数f(x)?3sin(2x?2?)的最大值是 ，此时x的值为 。 3【教学建议】本题选自必修四第44页习题1.3第四题，主要是复习三角函数的最值、周期性，有了第1题的铺垫，不妨令t?2x??3，则转化为f(t)?3sint的最值问题，
故问题迎刃而解。
3、函数f(x)?asinx?bcosx（a,b均为正数）的最大值是
【教学建议】本题选自必修四第99页习题3.1第13题，是求三角函数最值（或值域）问题中的一种基本模型。处理方法：引入辅助角?，化为f(x)?型亦可以化为此类。
4、函数f(x)?sinx?cos2x的值域是 。
【教学建议】如何化简原函数？方向是什么？减少角的个数，将2x?x，得到
2 f(x)??2sinx?sinx?1a2?b2sin(x??),
利用函数|sin(x??)|?1即可求解。形如f(x)?asin2x?bsinxcosx?mcos2x?n再换元得f(t)??2t2?t?1，强调t?[?1,1]，结合二次函数的图像求解。
三、诊断练习
1、教学处理：课前由学生自主完成，并将解题过程扼要地写在学习笔记栏。教师通过课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。教师课上作适当点评，点评要精要，准确把握重、难点，揭示其中所蕴含的数学方法、思想，给学生以启迪、思考和指导。 2、诊断练习点评 题1：函数f(x)?cosx?1cos2x(x?R)的最大值等于 ； 2【分析与点评】
问题：本题中出现的角有x、2x，如何统一？是化x为2x，还是化2x为x？如何化？角统一后下一步怎么办？
因为cosx没有平方，不好降角升次，故对cos2x采用降角升次为好，cos2x用二倍角转化为x的三角函数有三个选择，结合前面出现的cosx，选择cos2x=2cos2x-1，从而将cosx当作整体t，f（x）转化为t的二次函数求最大值。
2sin2x?1题2．设x?(0,)，则函数f(x)?的最小值为 。
2sin2x?【分析与点评】
问题：三角函数式的化简优先考虑什么？角的差异性！因而将2x?x，得
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2sin2x?122f(x)?，再将“1”代换为“sinx?cosx”，得关于sinx,cosx的齐次式！
2sinxcosx再怎么办？
方案一：转化为关于“tanx”的表达式，用不等式求解。
3sin2x?cos2x23sin2xcos2x方案二：直接用不等式，f(x)???3。
2sinxcosx2sinxcosx?题3．若函数f(x)?(1?3tanx)cosx,0?x? ，则f(x)的最大值为 .
2【分析与点评】
问题1：三角函数式化简的基本原则是什么？消灭三角函数式在“角、名（函数名称）、
次（式子次数）”等方面的差异性，走向统一，从而达到化简之目的。 问题2：此题如何消灭在“名称”上存在的差异？切化弦！易得f(x)?2sin(x??6)，
追问角x的范围的作用是什么？如果改为求此函数的值域呢？体现整体思想和单调性的作用。
题4．函数f(x)?x?2sinx，当x?[0,?]时，f(x)的最大值是 . 【分析与点评】
问题1：能化为二次函数、f(x)?Asin(?x??)等形式吗？经过尝试，不可以！怎么办？
问题2：最值问题常与函数的哪个性质有关？单调性！如何研究此函数的单调性？定
义呼？导数呼？孰优孰劣？由f/(x)?1?2cosx?0，可求得极大值点为
x?2?，当然也是函数的最大值所对应的自变量x的值。 33、要点归纳
（1）通过上述问题的交流,让学生了解:求三角函数值域（或最值）问题时，我们常常将所给函数化为熟知的函数类型如f(x)?Asin(?x??)?B、二次函数等。进而通过研究这些函数的单调性，求出原函数的值域（或最值）。
（2）求解的关键是借助三角公式将所给的三角函数式进行三角恒等变形，化为我们熟悉的、已知的函数模型，或用导数求极值，因此应要求学生熟记三角公式（特别是二倍角公式及其变形公式！）。
（3）强化函数定义域优先的意识。化简过程中也应对自变量的取值范围所发生的变化进行仔细地考察，理解定义域发生变化后，值域（或最值）可能随之发生变化。 四、范例导析
例1、已知函数f(x)?2cos2x?sinx?4cosx. （1）求f()的值；
2?3（2）求f(x)的最大值和最小值。
【教学处理】可让学生板演，教师点评； 【引导分析与精讲建议】
问题1：f()对应的具体表达式是什么？亦即目标要具体化!通过具体化发现是求特
?3殊角的三角函数值，因此，不难求得答案。
问题2：f(x)可化简吗？化简的方向是什么？2x?x！消灭角上的差异性，统一为关于角x的形式的三角函数，经过化简发现是“cosx”的二次函数型。借助我们熟知的二次函数知识就可以顺利求解。
【变式】求函数f(x)?2?4asinx?cos2x的最大值和最小值。
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【引导分析与精讲建议】
问题：化简的方向？异角化同角得f(x)?2sin2x?4asinx?1，换元后转化为二次
函数问题，其中要注意什么？换元就要换范围！令t?sinx，则“动轴定区间”上的最值问题，数形f(t)?22t?4at?，问题转化为二次函数在1结合得解。
例2：已知函数y?sin2x?2sinxcosx?acos2x,x?R（课本复习题T13改编） （1）如果a??3，求函数的最大值；
（2）如果函数的最小值是?2，求a的值。
【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再
结合板演情况进行点评。也可在学生恒等变形过程中遇到困难时，教师适时介入与学生交流，并给予指导。
【引导分析与精讲建议】
问题1：条件是二次形式，能化为二次函数型码？学生通过尝试，感受解题失败！
知道解题不会一帆风顺，有时，事先制定的解题计划需要调整，从而逐渐的积累解题经验，一步步提升解题能力。
问题2：能否化为f(x)?Asin(?x??)?B？强调这种类型是三角函数中的常见
题型。f(x)?Asin(?x??)?B的本质是什么？一个角！一个三角函数！一次式！那么这样的二次式能降为一次吗？充分挖掘公式的变化形式，显然
1?cos2x1?cos2x,cos2x?, 22sin2xsinxcosx?，∴y??2cos2x?sin2x?1，至此，应水到渠成了。
2sin2x?【点评】本题通过逆用二倍角公式降次后，将函数化为一个角的一种三角函数的形式
即y?asinx?bcosx?c型的函数，再应用三角函数的有界性求解。 【变式1】已知函数y?2asin2x?23asinxcosx?a?b(a?0)的定义域为
[0,]，值域为[?5,1]，求常数a,b的值.
2【变式2】已知函数f(x)?2sinx?2cosx?2sinxcosx
（1）当x?R，求函数的值域 （2）当|x|???，求函数的值域 4例3. （09江苏卷改编）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与 A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为 ykm，∠BAO=θ(rad)。 （1）试将y表示成θ的函数关系式； （2）求y的最小值。
【教学处理】○1利用三角函数解决实际问题是三角函数的生命力所在，也是学生学
习三角函数的动力所在，○2用导数法求三角函数的最值的意识与能力
必须培养与提高。 【引导分析与精讲建议】
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问题1：如何用θ表示AO、BO、OP？ 问题2：如何对y?OA?OB?OP?值？
问题3：如果题目不作要求，你会选择哪个量作为自变量？试一试求最小值？哪个简单？有什么启发？
【变式题】：如图所示的等腰梯形是一个简易水渠的横断面，其两腰与水渠底部长度都是a，已知水渠单位时间的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为k(k?0). （1）试将水渠单位时间的最大流量表示成关于?函数f(?)； （2）求当?多大时，水渠单位时间的最大流量最大.
a a θ a 1010??10?10tan?化归？求最小cos?cos?解析：（1）由题意得
1f(?)?k??(a?a?2acos?)?asin??ka2(1?cos?)sin?,
2?其中0???.
2（2）f'(?)?ka2(cos??cos2?)?ka2(2cos2??cos??1 ）?ka2(2cos??1）(cos??1）令f'(?)?0得cos???1或cos??1??, 又因为0??????， 223f'(?)在（0，）大于0、在（，）上小于0，
332??????（，）上递减， ?f(?)在（0，）上递增、在
332??当?=时水渠单位时间的最大流量最大.
3
五、解题反思
1、求三角函数最值（或值域）的常用方法有：①配方法（主要利用二次函数性质及三角函数的有界性），如例1；②化为一个角的一个三角函数形式（主要利用和差角公式及三角函数的有界性），如例2；③数形结合法（如直线的斜率），如例3的解法2；④导数法，如例3；⑤基本不等式法，如诊断练习2。
2、三角函数的最值（或值域）都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间.
（1）求三角函数最值（或值域）时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及正、余弦函数的有界性，如例2中变式2.
（2）含参数的三角函数的最值问题，要注意参数的作用和影响。如例2中变式1 3、要养成用设角的方法解决图形问题的意识，要掌握用导数方法求三角函数的最值的技能。