安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文 1
空间曲线积分与曲面积分的若干计算方法
作者：吴平 指导老师：张亚楠
摘要：介绍曲线积分，曲面积分的基本定义并探讨曲线曲面积分在空间上的基本的计算方法，一般的曲
线曲面积分的参数方程可以利用公式计算，如利用高斯公式，斯托克斯，格林公式求解法，但有时的计算相当麻烦，所以在此基础上探讨并寻找新的求解方法，如对称性求解法以及数形结合法，最后我们通过联系实际问题分析曲线积分曲面积分在其中的应用。
关键词： 曲线积分 曲面积分 格林公式 高斯公式 斯托克斯公式
1 引言：
数学的发展归根到底是为了探究大自然的规律，所以数学不可能只是某些经验事实的积累它有其哲学的思辨，在人类文化各个分支中，数学可能是唯一依靠逻辑规则建立自己的分支，本文是关于曲线曲面积分计算方法的心探究。二：本文主要介绍第一类第二类曲线积分，第一类和第二类曲面积分，以及两类曲线积分两类曲面积分的联系，以及后面的格林公式，斯托格斯公式高斯公式的实际问题中应用。三：在探究第一类以及第二类曲线曲面积分方法探究时一定要把积分区域积到，第一：要在量纲上一致，比喻曲线积分一定要化为定积分的计算，曲面积分一定要化为两个有次序的定积分的计算，三重积分一定是由于积分区域式三维区域的是立体的，因此一定化为有次序的三个有次序的定积分，当然也可以化为一个定积分和二重积分，或一个二重积分和一个定积分，第二：无论怎样积分一定要把积分区域中的每一点计算到。
2 空间曲线积分方法
第一型曲线积分：设L为平面上可求长度的曲线, f?x,y?为定义在L上的函数，对曲线做割T，它把分隔成可求长度的小曲线段的弧长记为?Si分割的细度为T=max?Si0?x?1错误！未找到引用源。在上任取一点??i,?i??i?1,2,3,4............? 若有极限
lim?f??,???Si
T?0i?1n且J的值与分割T与点??i,?i?的取法无关，则称极限为f?x,y?在L上的第一型曲线积分，记着
?f?x,y?ds
L若L为空间可求曲线段，f?x,y,z?为定义在L上的函数，则可类似的定义f?x,y,z?在空间曲线L上的第一型曲线积分，并记着
?f?x,y?ds
L第二型曲线积分：设函数P?x,y?与Q?x,y?定义在平面有向可求长度曲线: LAB上，对L第 1 页 共 14 页
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的任意分割 ，它把L分成n个小曲线段?i?1,2,3,4............?
其中M0?A,Mn?B记各种小曲线段的弧长为?Si.分割T的T=max?Si.
0?x?1又设T的分割点Mi的坐标为?xi,yi?,并记为错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。(i=1,2,3,4.........)
在每个小曲线段上任取一点（错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。）若极限 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
存在且与分割T与点（错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。）的取法无关，则称此极限为函数P（x，y）,Q(x,y)沿有曲线L的第二型曲线积分，记为错误！未找到引用源。+Q(x,y)错误！未找到引用源。或者错误！未找到引用源。+Q(x,y)错误！未找到引用源。上述积分可以也写成错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。若L为封闭的有向曲线，则可以记为错误！未找到引用源。+Q错误！未找到引用源。
第一类二类曲线积分的计算：
例一：计算错误！未找到引用源。其中L为球面错误！未找到引用源。被平面x+y+z=0所截得的圆周 解：有对称性知
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 所以
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
第二类曲线积分的计算：
例二：计算错误！未找到引用源。+(y-x)错误！未找到引用源。,其中L分别沿如图的路线
（1）直线AB
（2）ACB(抛物线：y=2错误！未找到引用源。+1 (3)ADBA(三角形周界)
解（1）直线AB的参数方程为
错误！未找到引用源。 t错误！未找到引用源。[0,1] 故由公式可得
错误！未找到引用源。-(y-x)错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。)dt=错误！未找到引用源。
(2)曲线ACB为抛物线y=2错误！未找到引用源。+1,1 =错误！未找到引用源。+[2错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。+35x-12)dx=错误！未找到引用源。 (3)这里L是一条封闭曲线，故可以从A开始应用公式性质2，分别求沿AD,DB和上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分，由于沿直线AD:x=x,y=1(1 第 2 页 共 14 页 安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文 3 错误！未找到引用源。 沿直线DB：x=2,y=y,(1 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。dy=0 沿直线BA的线积分为： 错误！未找到引用源。dy =-错误！未找到引用源。 所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+0+(-错误！未找到引用源。)=-错误！未找到引用源。 两类曲线积分的性质以及联系： 虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型，且有着不同的性质，但在一定的条件下，如在规定了曲线方向之后，可以建立他们之间的联系。 设L为从A到B的有向光滑曲线，它以弧长s为参数，于是 L错误！未找到引用源。 0 其中 L为L的全长，且A与B的坐标分别为(x(0),y(0))(x(l),y(l)).曲线上每一点的切线方向指向弧长增加的一方，现以（t,x）(t,y)分别表示为切线方向t与x轴与y轴正向的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦是 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。 1 错误！未找到引用源。 若P（x,y）,Q(x,y)为曲线L上的连续函数，则有： 错误！未找到引用源。Q(x(s),y(s)错误！未找到引用源。ds =错误！未找到引用源。 2 最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式，这里指出当二式左边第二型曲线积分的L改变方向时，积分值改变符号，相应在二式右边第一型曲线积分中，曲线上各点的切线方向指向相反的方向，（即指向弧长减少的方向）这时的夹角（t,x）,(t,y)分别与原来的夹角相差一个弧度错误！未找到引用源。，从而都要变号，因此一旦方向确定了公式2总是成立的，这样根据条件1和2便成立了两种不同类型的曲线积分之间的联系。 3 空间曲面积分的方法： 第一曲面计型算方法设S为空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数，对曲面S作分割T，把S分成n个小曲面块错误！未找到引用源。(i=1,2,3.......),以错误！未找到引用源。记小曲面块错误！未找到引用源。的面积，分割T的细度错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，在任取一点（错误！未找到引用源。）（i=1,2,3,4........）,若极限 错误！未找到引用源。存在，且与分割T与 （错误！未找到引用源。）(i=1,2,3.......)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S上的第一型曲面积分，记着 特别的，当f(x,y,z)=1时，曲面积分错误！未找到引用源。就是曲面块S的面积。 例三：计算错误！未找到引用源。,其中S是球面错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。被平面z=h(0 安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文 4 顶部 解：曲面S的方程为z=错误！未找到引用源。,定义域D为圆域：错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。《错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。 由于错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。所以由公式可求得错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。dxdy=错误！未找到引用源。rdr =2错误！未找到引用源。 =-错误！未找到引用源。a错误！未找到引用源。 对于由参数形式表示为的光滑曲面： 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 在D区域内 则在S上第一型曲面积分的计算公式为 错误！未找到引用源。dudv其中 这里还要求雅可比行列式错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。中至少有一个不等于零。 第二型曲面积分 设P,Q，R为定义在双层曲面S上的函数，在S所指的一侧作分割T，它把S分为n个小曲面错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，........错误！未找到引用源。分割T的细度∣∣T∣∣=错误！未找到引用源。的直径，以错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。 分别表示为错误！未找到引用源。在三个坐标平面内 的投影区域面积，他们的符号由错误！未找到引用源。的方向来确定。若错误！未找到引用源。在xy平面的投影区域的面积错误！未找到引用源。为正。反之若错误！未找到引用源。一点（错误！未找到引用源。）若 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。存在 且与曲面S的分割T和错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上的取法无关，则称此极限为函数P，Q，R在曲面S所指定的一侧上的第二型曲面积分，记做 错误！未找到引用源。dydz+Q错误！未找到引用源。dzdx+R错误！未找到引用源。dxdy错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 例四：计算错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。x>0,y>0部分并取球外侧 解：曲面S在第一，五卦限部分的方程分别为： 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。 他们在xy平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分，依题意，积分是沿错误！未找到引用源。上侧和错误！未找到引用源。的下侧进行，所以 = 错误！未找到引用源。dxdy-错误！未找到引用源。dxdy =2错误！未找到引用源。dxdy =2错误！未找到引用源。dr=错误！未找到引用源。 第 4 页 共 14 页 安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文 5 如果光滑曲面S由参量方程给出： S：错误！未找到引用源。 若在D上各点它们函数行列式：错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。 不同时为零，则分别有：错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。dudv 错误！未找到引用源。dudv 两类曲面积分积分的联系：与曲线积分一样，当曲面的侧确定后，可以建立两类曲面积分的联系。设S为为光滑曲面，并以上侧为正侧，R为S上的连续函数，曲面积分在S的正侧进行，因而有： 错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。 由区面积公式得：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。dxdy 其中错误！未找到引用源。，它是定义在错误！未找到引用源。上的函数，因为积分沿曲面正侧行错误！未找到引用源。所以错误！未找到引用源。内必存在一点，使这点的法线方向与Z轴的夹角错误！未找到引用源。满足等式： 或 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 于是R(错误！未找到引用源。=R(错误！未找到引用源。 n个部分相加后得： 错误！未找到引用源。 现在以错误！未找到引用源。表示曲面错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。）的法线方向与Z轴正向夹角的余弦，则由错误！未找到引用源。的连续性，可得当错误！未找到引用源。 这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角错误！未找到引用源。，因而错误！未找到引用源。 其中的错误！未找到引用源。分别是S上的法线方向与x轴正向和Y轴正向的夹角，一般的有： 第 5 页 共 14 页