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（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得
?110???C，记P??010?，则
?001???（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP.
（Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分） 试确定A,B,C的值，使得e(1?Bx?Cx)?1?Ax?o(x)， 其中o(x)是当x?0时比x高阶的无穷小.
33TT?1?1x23arcsinexdx. （16）（本题满分10分）求 ?ex（17）（本题满分10分）
设区域D?(x,y)x?y?1,x?0， 计算二重积分（18）（本题满分12分）
设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?) （Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；
n???22?1?xydxdy. 22??1?x?yD1?xn?1?xn2（Ⅱ）计算lim??. n??x?n? （19）（本题满分10分）
证明：当0?a?b??时，
bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.
（20）（本题满分12分）
设函数f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f?x2?y2满足等式
??2z?2z?2?0. 2?x?y
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（I）验证f??(u)?f?(u)?0； u（II）若f(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式. （21）（本题满分12分）
?x?t2?1,已知曲线L的方程?(t?0) 2?y?4t?t（I）讨论L的凹凸性；
（II）过点(?1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程； （III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分）
已知非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1 ?ax?x?3x?bx?134?12有3个线性无关的解.
（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2； （Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解.
(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QAQ??.
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2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设y?(1?sinx)x，则dyx?? = .
（2）曲线y?1(1?x)x32的斜渐近线方程为 .
（3）
?(2?x0xdx2)1?x2? .
1的解为 . 9（4）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??（5）当x?0时，
k= .
（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则
A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， 如果A?1，那么B? . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]
（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有
(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]
?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横
?y?ln(1?t)坐标是
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11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88(C) ?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ]
(A)
22（10）设区域D?{(x,y)x?y?4,x?0,y?0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，
则
??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d??
aba?b?. (C) (a?b)?. (D) ? . [ ] 22(A) ab?. (B)
（11）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?一阶导数，则必有
?x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，? 具有
?2u?2u?2u?2u (A) ??2. （B） 2?2. 2?x?y?x?y?2u?2u?2u?2u(C) ?2. [ ] ?2. (D)
?x?y?x?x?y?y（12）设函数f(x)?1exx?1,则 ?1(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.
(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]
（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是
(A)
?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]
**（14）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为A,B
的伴随矩阵，则 [ ]
(C) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B.
********(C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
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?（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.
（16）（本题满分11分）
如图，C1和C2分别是y?1(1?ex)和y?ex的图象，过点(0,1)的2曲线C3是一单调增函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与
ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).
（17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线
l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设
函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （18）（本题满分12分）
2 用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x)y???xy??y?0，并求其满足
?30(x2?x)f???(x)dx.
yx?0?1,y?x?0?2的特解.
（19）（本题满分12分）
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：
（I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；
（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. （20）（本题满分10分）
已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域
y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.
42（21）（本题满分9分）
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计算二重积分
??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
（22）（本题满分9分）
确定常数a,使向量组
?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组
?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，但向量组?1,?2,?3不能由向量组
?1,?2,?3线性表示.
（23）（本题满分9分）
?1已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B???2??3且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.
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23?46?（6k?k为常数），??